Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Но если мы сравним d~ с элементом dw, вырезаемым тем же самым проектирующим из P конусом на сфере с центром в P и радиусом, равным 1 (т. е. с так называемым телесным углом, под которым виден элемент da из Р), то будем иметь
поэтому заключаем, что объем элемента рассматриваемого слоя (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) может быть представлен в виде
AB. PA2 • &>,
а абсолютная величина силы притяжения точки Р—в виде
где через ^ обозначена плотность (постоянная) слоя.
Аналогично сила притяжения точки P со стороны элемента при А'В' противоположна первой и по абсолютной величине равна
AB . diz.
dTz = PA* ¦ dw,
[А • AB • dm,
(15)
ц - А'В' • d«).
(15') § s. приложения
87
Но оба эллипсоида, будучи гомотетичны относительно общего центра, имеют по отношению ко всякому направлению одну и ту же сопряженную диаметральную плоскость; поэтому, в частности, плоскость, сопряженная с направлением AA', делит обе хорды AA' и BB' пополам. Отсюда следует и равенство двух отрезков AB, А'В' и, следовательно, равенство абсолютных величин (15), (15') сил притяжения точки со стороны обоих рассматриваемых элементов. Поэтому полная сила притяжения, действующая на точку Р, будет равна нулю; достаточно ко всякому материальному элементу слоя присоединить противоположный ему относительно P элемент, чтобы заключить, что сила притяжения всякой точки внутренней полости слоя будет равна нулю.
Полученный таким образом результат, очевидно, распространяется на однородный эллипсоидальный слой конечной толщины, если представить себе его разложенным на элементарные (т. е. бесконечно тонкие) слои, что можно выразить словами так: потенциал однородного эллипсоидального слоя для всех точек внутренней полости имеет постоянную величину.
27. Нормальная составляющая притяжения плоского однородного слоя. Если задан плоский однородный слой о (фиг. 29) плотности V и выбрана точка Р, расстояние которой от плоскости о есть h, то силу притяжения плоскостью о точки P можно разложить на составляющие нормальную и касательную к плоскости. Ограничимся рассмотрением первой, так как она встречается во многих приложениях (в частности, в электра-статике).
Для этой цели рассмотрим прежде всего нормальную составляющую притяжения произвольного материального элемента dm = v do. Если обозначим через г его расстояние от точки P и через 8 угол (острый), который образует с нормалью к плоскости о прямая, соединяющая его с точкой Р, то нормальная составляющая элементарного притяжения точки P будет равна
Фиг. 29.
,•v da
f-ї COS 6.
(16)
Рассматривая сферу с центром в Р, проходящую через какую-нибудь точку элемента do (и поэтому имеющую, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, радиус г), и рассуждая как в п. 16, мы увидим, что произведение cos bdo численно равно (с точностью до бесконечно малых, которыми можно пренебречь) площади, вырезаемой на этой сфере элементарным конусом, 88
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
проектирующим из P контур da. Следовательно, выражение
cos 6 da гг
численно равно площади, вырезаемой тем же самым элементарным конусом на сфере с центром в P и радиусом, равным 1, т. е. телесному углу dw, под которым элемент da виден из точки Р. Поэтому величине (16) нормальной составляющей элементарного притяжения можно придать вид
/v dm.
Проинтегрировав по всей площади о и обозначив через 2 телесный угол, под которым она видна из Р, найдем, что величина нормальной составляющей притяжения плоскостью а точки P выразится в виде
/Ж (И)
Этот результат получает особый интерес, если в качестве притягивающей поверхности рассматривается однородный круглый диск, а в качестве притягиваемой точки — точка на его оси (т. е. на перпендикуляре в центре круга к его плоскости); в этом случае полное притяжение диском точки P вследствие очевидной симметрии должно быть направлено по оси диска, так что выражение (17) дает как раз это полное притяжение.
Если, далее, рассматривается однородная притягивающая плоскость, то притяжение какой угодно точки остается всегда нормальным к плоскости; а так как в этом случае телесный угол измеряется площадью полусферы радиуса, равного 1, то по абсолютной величине сила притяжения представится в виде
2ф.
Прибавим последнее замечание, справедливое для плоской притягивающей площадки а произвольного вида. Обозначив через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость площадки а, представим себе, что P стремится по перцендикуляру к Q. Если Q находится вне о, то из выражения (17) получится, что нормальная составляющая притяжения стремится к вулю; она будет стремиться к нулю и в том случае, когда притягиваемая точка стремится к Q, по этому перпендикуляру, с противоположной стороны от плоскости площадки а. В силу симметрии нормальная составляющая будет иметь с обеих сторон от плоскости (относительно общей направленной нормали) противоположные знаки. Она будет оставаться непрерывной также и при переходе притягиваемой точки с одной стороны плоскости на другую, как, впрочем, мы это уже знаем из п. 7. § s. приложения
