Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
гл. xi. краткий сведения о ньютоновом нритяжёнии
(также и в точках Р, внутренних для притягивающей массы) есть центральная сила, имеющая О центром силы. Проекция <р силы притяжения на направление радиуса (радиальная проекция) определяется (гл. YII, п. 26) производной dU/dp; дифференцируя равенство (13) по р и принимая во внимание, что оба члена, происходящие от дифференцирования первого интеграла по нижнему пределу и второго по верхнему пределу, сокращаются, получим
? = (Д2<Р<Р1), (14)
rt
откуда видно, что <р является существенно отрицательной величиной. Это подтверждает тот факт, становящийся очевидным на основании деления слоя на две части K1 и K2, что также и внутри притягивающего слоя сила притяжения всегда направлена к центру. Заметим, что при р = -Rj, если примем во внимание, что пол-
fii
ная масса т слоя равна J 4irss;x (s) ds, выражение (14) может быть
F,
написано в виде
т. е. для точки, лежащей на поверхности слоя, как и для внешней точки, потенциал имеет такой вид, как если бы вся масса слоя была сосредоточена в центре.
При р = B2, наоборот, имеем <р = 0, как это и требуется для того, чтобы сила притяжения была равна нулю во всех точках внутренней полости.
Таким образом, в этом примере непосредственными вычислениями мы подтвердили непрерывность поля силы тяжести.
В частном случае полной однородной сферы из равенства (14), полагая в нем плотность jx постоянной и R2 = 0, или из равенства (13) после дифференцирования будем иметь
? = «Л* (Р<Д). (НО
Притяжение во внутренних точках будет поэтому прямо пропорционально расстоянию от центра.
26. Притяжение полной однородной сферы. Обозначим через R радиус сферы, через |j. плотность, вследствие чего масса будет определяться равенством
т = JJ. 1 кй3,
и через р расстояние любой притягиваемой точки P от центра. § s. приложения
85
U =
Фиг. 27.
На основании пп. 22, 23 будем иметь во внешних точках (р > R),
Wv- (у ^2 — J P2 ) = ^r (у ^2—"I" P2)» во внутренних точках (р< І?).
При р = R мы получим одно и то же значение из обоих равенств.
Сила притяжения всегда направлена к центру, и ее величина du
191 = определяется во внешних точках выражением /Wp2,
как если бы вся масса была сосредоточена в центре; во внутренних точках
сила притяжения равна g- ir/V-p=fmpjR3
и оказывается, таким образом, пропорциональной расстоянию от центра. На поверхности (р = .й) имеем общий предел fmjR2 Поэтому, если представим графически величину cfcrn притяжения, беря за абсциссу расстояние р притягиваемой точки от центра и за
ординату абсолютную величину радиальной проекции 9 силы притяжения (фиг. 27), то получим непрерывную кривую, составленную (для значений р между р = 0 Ep = R) из прямолинейного отрезка, выходящего из начала и (при p>R) из дуги кубической гиперболы, пересекающей прямолинейный отрезрк под конечным и отличным от нуля углом, образуя точку заострения. Поэтому производная от абсолютной величины силы притяжения по р при р = R имеет разрыв.
26. Притяжение однородным эллипсоидальным слоем внутренних точек. Понимая под эллипсоидальным слоем всякий материальный слой, заключенный между двумя концентрическими гомотетичными относительно общего центра эллипсоидами, мы покажем здесь, что, в предположении однородности, притяжение такого слоя во всякой точке внутренней полости равно нулю.
Обратимся сначала к эллипсоидальному слою очень малой толщины, которую мы будем считать величиной первого порядка; выберем внутри полости какую-нибудь точку P (фиг. 28) и рассмотрим элементарный конус с вершиной в этой точке. Этот конус вырежет на поверхности внешнего эллипсоида элементарную площадку do — основание материального элемента, заключенного внутри 86
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
конуса. Противоположный конус вырежет из слоя другой материальный элемент, площадь основания которого на внешнем эллипсоиде обозначим через da'. Покажем теперь, что силы притяжения, действующие на точку P со стороны двух указанных материальных элементов, равны и прямо противоположны. Так как материальные элементы, о которых идет речь, можно считать материальными точками, то непосредственно ясно, что обе силы притяжения имеют одну и ту же линию действия и противоположные направления, так что все сводится к тому, чтобы доказать равенство (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых высшего порядка) абсолютных величин этих сил.
Для этой дели, обозначив через А, В точки, в которых какая-нибудь произвольно взятая образующая пересекает оба эллипсоида с одной стороны от Р, через А', В' — точки, в которых та же самая образующая пересекает оба эллипсоида с противоположной стороны от Pi заметим, что объем элемента слоя при AB равен (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) объему цилиндра (вообще говоря, наклонного) с основанием de и образующей AB (с точностью до бесконечно малых, которыми можно пренебречь). Нормальное сечение этого цилиндра, проходящее через А, представляет собой (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) элемент diг, вырезаемый конусом, проектирующим da из Р, на сфере с центром в P и радиусом РА. Поэтому объем цилиндра или, в конечном счете, элемента слоя представится (с точностью до бесконечно малых, которыми можно пренебречь) выражением
