Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 28

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 134 >> Следующая


/ f(Q) dS. (50

s*

Если этот интеграл стремится к конечному и определенному пределу, как бы ни уменьшалась неограниченно область около точки Р, то этот предел называется несобственным интегралом от f(Q) в области S и обозначается символом

jf(Q)d8.

s

10. Предыдущие интегралы имеют смысл только при условии, что предел интеграла (5) или аналогичного интеграла (5') является определенным. При этом нет необходимости указывать общий признак, позволяющий определить во всяком случае, на основании поведения функции f в особой точке, существует или не существует этот предел, т. е. несобственный интеграл. Достаточно, как и для сходимости рядов, иметь признаки, приложимые к различным частным случаям.

Наиболее простым и наиболее полезным для нашей цели признаком является следующий. Функция f(Q), остающаяся конечной и непрерывной во всей области 8, за исключением лишь одной точки Р, где она обращается в бесконечность *), будет интегрируемой в этой области, если в точке P она обращается в бесконечность порядка не выше т, где т есть число, меньшее В, 2 или 1, в зависимости от того, будет ли область интегрирования

О функции f (Q) говорят, что она обращается в точке P в бесконечность порядка не выше т., если произведение rn'f (Q), где г есть расстояние QP, остается конечным при стремлении Q к Р, и обращается в бесконечность порядка т, если это произведение стремится к конечному и отличному от нуля пределу. 74

гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений

трех, двух или одного измерения. В противоположность этому, если функция f(Q) обращается в P в бесконечность порядка не ниже В, 2 или 1, в зависимости от размерности области 8, то она будет наверное неинтегрируемой в этой области. Если же о порядке бесконечности функции f(Q) в точке P известно только, что он не превышает 3, 2 или 1 в зависимости от рассматриваемого случая, то ничего нельзя сказать об интегрируемости функции, если не обратиться к какому-нибудь другому, более точному признаку.

Так, например, интеграл

J1 sin — dx

X X

о

существует и является вполне определенным, тогда как интеграл

J1 sin2 — dx

X X

о

не имеет смысла, хотя в обоих случаях рассматриваются функции, которые при X = 0 имеют бесконечность порядка не выше 1.

11. Дифференцирование под знаком интеграла. Пусть функция f зависит, помимо переменной точки, изменяющей свое положение в области 8, еще от некоторого параметра А, изменяющегося в некотором промежутке Л. Если она является конечной и непрерывной как относительно Q в 8, так и относительно А в Л, то интеграл

I°=ff№)dS (6)

S

будет функцией от А, непрерывной во всем промежутке А; если, кроме того, существует производная dfjdk, которая является также конечной и непрерывной функцией относительно Q в 8 и относительно А в А, то существует также интеграл

S

и оказывается справедливым так называемое правило дифференцирования под знаком интеграла, поскольку мы имеем, что § 2. потенциал

75

Предыдущие результаты при подходящих условиях распространяются также и на случай, когда функция Z1(QIX) при некотором значении X0 параметра X обращается в точке P внутри области 8 в бесконечность.

Именно, предположим, что функция f(Q\k) является интегрируемой внутри области 8 (п. 10), каково бы ни было значение параметра X в промежутке А; предположим, кроме того, что если точка P находится в некоторой сколько угодно малой области у, внутренней для 8, то функция f (Q|X) остается конечной и непрерывной, как бы ни изменялось положение точки P внутри области 8* = 8— f.

При этих предположениях интеграл (6) все еще будет определенной и непрерывной функцией от X в промежутке А. Если, далее, существует производная df/dX и обладает теми же только что допущенными для функции f свойствами, то будет иметь силу равенство (7), т. е. к равенству (6) можно приложить правило дифференцирования под знаком интеграла; таким образом, и в этом случае будет справедливо равенство (7) во всем промежутке А.

12. Предыдущие теоремы непосредственно применяются к потенциалу Ньютона.

Рассмотрим прежде всего потенциал некоторого трехмерного распределения материи

Ui*, у,

S

Очевидно, что если притягиваемая точка P (х, у, г) совпадает или стремится к совпадению с некоторой точкой Q (?,¦»], С) притягивающего тела, то подинтегральная функция обращается в бесконечность; но так как порядок бесконечности равен 1 (т. е. меньше 3), то, как мы уже знаем (п. 1,0), подинтегральная функция остается интегрируемой и потенциал U будет конечным и непрерывным не только вне притягивающей массы, но также и на поверхности и внутри нее. Кроме того, внутри области S существуют также и частные производные от функции ji/r по координатам х, у, г притягиваемой точки; если точка является внутренней для тела С, то частные производные обращаются в ней в бесконечность порядка не выше 2, тогда как во всем остальном теле они остаются конечными и непрерывными. Отсюда заключаем (п. 11), что'потенциал U представляет собой дифференцируемую и потому непрерывную функцию не только вне притягивающей массы, но также на поверхности и внутри нее; производные потенциала также будут непрерывными функциями и получатся путем дифференцирования под знаком интеграла, т. е. определятся формулами (4) п. 7.
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed