Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
И не зависит от х, у, г, написать
§ § 2. потенциал
71
и аналогичные формулы для двух других координат; на таком же основании можно выполнять и дальнейшие дифференцирования. В частности, уравнение (2') принимает при этом вид
Таким образом, дело обстоит так, как если бы функция U была суммой конечного числа слагаемых: в этом последнем случае имеет место элементарное правило, заключающееся в том, что производная от суммы равна сумме производных от отдельных слагаемых. Подобно тому, как потенциал U является пределом, к которому
стремится сумма когда неограниченно уменьшаются части
ДС, так и интеграл, стоящий в правой части равенства (4), является пределом суммы
представляющей собой проекцию на ось х полного притяжения различных частей ДС, рассматриваемых как материальные точки. Полученный таким образом предел (при любом законе деления на части, лишь бы оно продолжалось до бесконечности) можно рассматривать как соответствующую проекцию полного притяжения, действующего на точку P со стороны масс, непрерывно распределенных внутри области S. Отсюда имеем правило:
Для всякой притягиваемой точки Р, внешней для области S1 занятой притягивающими массами, проекции силы притяжения равчы (как и в случае конечного числа притягивающих масс) соответствующим производным от потенциала U1 выражающегося в виде
это выражение для U совпадает с выражением для потенциала в случае конечного числа притягивающих точек [равенство (1)], за исключением лишь того, что сумма заменена здесь интегралом.
8. Возвращаясь опять к случаю конечного числа притягивающих масс Qiii = 1, 2, ..., п), вспомним (п. 5), что потенциал и сила притяжения безгранично возрастают, когда притягиваемая точка P приближается к одной из точек Qi.
В случае массы, распределенной непрерывно внутри некоторой области S (одного, двух или трех измерений), сама собой возникает задача исследовать, что происходит, когда притягиваемая точка P неограниченно приближается к области S или находится внутри этой области.
s
U= ff^dS;
8 72
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
Существенная разница, по сравнению с рассмотренным только что случаем точки Р, внешней относительно тела (т. е. относительно области, занятой притягивающими массами), состоит в том, что функция pjr под знаком интеграла в выражении потенциала TJ обращается в бесконечность в точке Р, если P является внутренней для S, иди стремится к бесконечности, если точка P (предполагаемая внешней) неограниченно приближается к телу. Необходимо поэтому исследовать, как влияет особая точка, которую имеет цодинтегральная функция, на потенциал TJ, на его производные, на проекции X, Y, Z силы притяжения, на соотношения
X-dJL
дх ' 1 ~ ду ' дя '
которые имеют место, когда речь идет о внешних точках, и т. д.
На все эти важные вопросы исчерпывающим образом отвечает теория потенциала1)*). Чтобы привести здесь те соображения и результаты, к которым при этом приходят, предпошлем некоторые сведения из анализа.
9. Несобственные интегралы. Обратимся сначала ради простоты к функции f(x) от одного только переменного и предположим, что она остается конечной и непрерывной во всем закрытом интервале, от X = а до х = Ъ, за исключением лишь одной точки х = с, в которой она становится бесконечно большой. Если мы около точки х = е рассмотрим интервал (с — 8, с -f- 8'), расположенный внутри заданного интервала, то функция f (х) будет конечной и непрерывной, а следовательно, и интегрируемой от х = а до х = с — 8 и от X = с -]- 8' до х=Ъ, так что сумма двух интегралов
с-5 Ь
J f(x)dx + J f(x) dx (5)
а с+5'
окажется вполне определенной и конечной. Если эта сумма стремится к конечному и определенному пределу при всяком одновременном стремлении к нулю 8 и 8', то этот предел называется несобственным интегралом от а до Ъ функции f(x) и обозначается символом
ь
§ f (X) dx.
__а
J) См., например, Betti, Teoriea delle forze newtoniane, Пиза, 1879, гл. I; P о і п с а г ё, Theorie du potentiel newtnien, Париж, 1889, гл. I — III, или еще Appell, Traite de meeanique rationelle, т. III, 3-е изд., Париж, 1921, гл. XXIX; А п п e л л ь П., Руководство теоретической механики, т. Ill, гл. XXIX, 1911.
*) Идельсон Н. И., Теория потенциала с прилозкениями к теории фигуры Земли н геофизике, Ленинград, 1936; Сретенский Л. Н„ Теория ньютоновского потенциала, Москва, J.946. (Прим. ред.) § 2. потенциал
73
Ь
Аналогично определяется и интеграл J f(x) dx, когда функ-
а
ция f(x) обращается в бесконечность при значениях х = а или X = Ъ; это определение распространяется и на более общий случай интеграла по области одного, двух или трех измерений функции f(Q) переменной точки Q, когда функция остается конечной и непрерывной во всей области интегрирования, за исключением одной точки Р, где она обращается в бесконечность. Если для определенности речь будет идти об области S трех измерений, то мы будем представлять себе около точки Р, внутри S, малую область f, например сферу с центром в P с достаточно малым радиусом 8, и рассмотрим область S*, которая получится из 8 в результате вычитания области f. Внутри 8* функция f (Q) остается конечной и непрерывной, так что остается определенным и конечным интеграл по области
