Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Далее легко установить, что силы притяжения, действующие на точку P со стороны двух элементов da и da', уравновешиваются (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых порядка, высшего, чем da или da'). Эти силы имеют (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых указанного порядка) прямо противоположные направления; поэтому все сводится к тому, чтобы доказать равенство двух абсолютных величин fvdajr2 и fr da'/г'2 сил, где через г и г' обозначены расстояния точки P от точек Q и Q'. Для этой цели представим себе две сферы тг и я', описанные из центра P радиусами г и г' и проходящие соответственно через точки Q и Q', и обозначим через d-к и dr/ элементы площади (окружающие Q и Q'), которые будут вырезаны из этих сфер конусами, проектирующими элементы da и da' из Р. Элементы die и dr/,
как подобные элементы двух сфер с радиусами г и г', относятся как квадраты радиусов, так что
die_drt'
,.2 ».'2 '
(9)
Кроме того, все рассматриваемые сферические элементы da, do', d-к, du' (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых высшего порядка по отношению к площадям) можно уподобить плоским элементам, в частности элементам касательных плоскостей в точках Q и Q' к сферам о, я и я'; с другой стороны, так как различные радиусы (выходящие из Р), проектирующие da и do', пересекают контуры элементов du и du' иод прямыми углами, то § 8. ПРИЛОЖЕНИЯ
19
du и du' можно рассматривать как прямоугольные проекции элементов da и do' на плоскости, касательные соответственно к сферам я и it' в точках QnQ'. Далее, угод между двумя касательными плоскостями к элементам da и du или к элементам do' и dit' равен углу между соответствующими нормалями, т. е. между радиусами двух сфер о и я иди о' и я', идущими соответственно к Q или Q'. На фиг. 24, если обозначим через О центр сферы о,
это будут углы OQP и OQ'P, которые, как углы при основании равнобедренного треугольника OQQ', равны между собой. Поэтому
если обозначим через 6 общую величину углов OQP и OQ'P, то будем иметь
dit = do cos 6, dit' = do' cos 8; равенство (9) можно будет после этого написать в виде
do_do'
Отсюда как раз и следует равенство
т. е. равенство абсолютных величин сил притяжения, действующих на точку P со стороны материальных элементов do и dz', противоположных относительно Р.
Теперь легко показать, что полное притяжение однородной сферической поверхности равно нулю во всех точках, внутренних для сферы.
Для определения этого результирующего притяжения достаточно представить себе, что каждому притягивающему элементу do соответствует противоположный ему (относительно притягиваемой точки Р) элемент do', а затем составить (геометрическую) сумму элементарных составляющих силы притяжения, происходящих от всех таких пар элементов. Так как каждая из этих элементарных составляющих равна нулю (но крайней мере, с точностью до членов порядка, высшего, чем do), то интеграл (предел только что указанной геометрической суммы) будет (строго) равен нулю.
17. Вспоминая (п. 7), что проекции силы ньютонова притяжения суть не что иное, как производные от потенциала XJ, мы должны отсюда сделать вывод, что во всем внутреннем для о пространстве (где притяжение есть нуль) потенциал
0
имеет постоянное значение. 80
Гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
Для того чтобы определить это значение, достаточно подсчитать его для какой-нибудь отдельной точки, выбранной как угодно внутри сферы. Выберем в качестве такой точки центр; тогда расстояние г притягиваемой точки от любого притягивающего элемента da будет постоянно и равно радиусу сферы, откуда следует, что
в
иди, если заметить, что J v da есть не что иное, как полная масса т
<7
притягивающей сферической поверхности,
18. Перейдем теперь к случаю внешней притягиваемой точки и сделаем сначала одно замечание геометрического характера.
Пусть P (фиг. 25) есть точка, внешняя для сферической поверхности о, р — расстояние точки P от центра О сферы. Пусть
P > Ii и, следовательно, если положим
PP'= M
р' < R. Если поэтому на отрезке OP рассматривается та точка P', которая отстоит от О на р', то можно быть уверенным, что P' находится внутри сферы.
фиг- 25. Далее, обозначим через гиг'
расстояния от P и P' до произвольной точки Q на поверхности а. На основании соотношения рр' — Л2 общий угол треугольников QOP', POQ при вершине О оказывается заключенным между парами пропорциональных сторон. Эти треугольники, следовательно, подобны, и отношение между двумя соответственными сторонами P'Q = г' и QP = г равно отношению двух других соответственных сторон OQ = jR и OP = р.
Поэтому имеем
Ї-Т7- (Ю)
19. После этого замечания возвратимся к притяжению сферической поверхностью а точки Р, внешней для сферы. Вместо силы здесь (как, впрочем, и в огромном большинстве случаев) удобнее определить прямо потенциал
U = ff^. § s. приложения
81
Используя соотношение (10) и принимая во внимание, что р н ІЇ не зависят от положения точки Q на поверхности о, можно вынести их из-под знака интеграла; поэтому будем иметь
