Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
V=Jfft-
а
Если задано значение г', очевидно, представляет
а
собой потенциал притяжения сферы а во внутренней точке P'. Ему можно приписать значение, найденное в п. 17, после чего получим
U^f у. (11)
Это есть ньютонов потенциал (для притягиваемой точки Р) некоторой массы т, расположенной в О; мы получили, таким образом, теорему:
Однородная сферическая поверхность действует на внешние точки так, как если бы вся масса ее была сосредоточена в центре сферы.
20. Притяжение однородного сферического слоя и, в частности, сферы, состоящей из однородных концентрических слоев. Пусть R1 и R2 (Ri > R<i)—радиусы сферического слоя К (т. е. радиусы двух сферических поверхностей, ограничивающих слой изнутри и снаружи), и р — радиус любой сферической поверхности о, концентрической с граничными поверхностями и лежащей внутри слоя [R2^C P ); обозначим, кроме того, через aK элементарный слой, заключенный между сферами с радиусами р и p-f-dp, а через dm — массу этого слоя.
Предположение об однородности каждого из составляющих сферу слоев позволяет рассматривать его как однородную материальную сферическую поверхность; поэтому можно непосредственно приложить результаты предыдущих пунктов. Остается только суммировать элементарные слагаемые, соответствующие каждому элементарному слою dK. Рассмотрим отдельно различные случаи, которые могут представиться в зависимости от положения притягиваемой точки P относительно слоя.
21. В точках, находящихся внутри полости, образуемой сферическим слоем, притяжение, очевидно, равно нулю, так как (п. 16) притяжения отдельных элементарных слоев dK, в этих точках равны нулю. Следовательно, потенциал остается постоянным внутри всей полости, и его численное значение получится, если мы просуммируем элементарные потенциалы.
Обозначив через ja плотность слоя, которая, по предположению, является функцией только расстояния от центра р, и через dm 82
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
массу любого элементарного слоя dK, мы будем иметь (принимая во внимание, что объем dK равен 4ир2 dp)
dm = 4ii[j. (р) р2 dp,
откуда (если в качестве переменной интегрирования будем писать а вместо р)
r1
U = 41Х/1 J* JJU (s) S ds. (12)
R1
Это и есть постоянное значение потенциала слоя внутри полости. Если плотность ^ постоянна, то будем иметь
U=2^(R\ — R\). (120
22, Случай притягиваемой точки Р, внешней для слоя (радиус-вектор р > P1). Так как каждый элементарный слой dK действует на P так, как если бы вся его масса была сосредоточена в О, то то же самое можно сказать и о целом слое К, и потому потенциал, как и в случае сферической поверхности, будет иметь вид
U = (11)
где т означает всю притягивающую массу, т. е. полную массу слоя.
Это выражение представляет собой, в частности, потенциал притяжения полной сферы (состоящей из однородных концентрических слоев) во внешних точках.
28. Предположим, наконец, что притягиваемая точка находится внутри притягивающего слоя (R2 < р <[ R1). В этом случае потенциал можно вычислить, воспользовавшись тем обстоятельством (п. 12), что для вся-ч кого пространственного распределения при-V тягивающих масс потенциал и его первые |\ производные остаются всюду конечными и PI непрерывными функциями (несмотря на то, Iy что точка Р, лежащая внутри притягиваю-У щей массы, есть особая точка подинте-гральной функции).
Представим себе, что слой К разделен на две части посредством сферической поверхности с радиусом р, проходящей через притягиваемую точку P (фиг. 26). Пусть K1 есть внешний слой (с радиусами R1, р) и K2 — внутренний (с радиусами р, R2). Если мы обозначим через U1 и U2 потенциалы слоев K1 и K2, относящиеся к какой-нибудь точке и, в частности, относящиеся к точке Р, § s. приложения
83
то будем, очевидно, иметь (в точке Р)
U=U1-^U2,
поэтому достаточно определить U1 и U2- Мы знаем уже (п. 21) (постоянное) значение U1 во всех внутренних точках сферы с радиусом р (которая составляет полость слоя K1); вследствие непрерывности функция U1 сохранит то же самое значение также и на поверхности сферы с радиусом р и, в частности, в точке Р, так что на основании формулы (12) будем иметь
R1
U1 = 4тс f J* JJ. (s) S ds.
р
Что же касается потенциала U2, то мы знаем (п. 22) его выражение для всякой точки, внешней относительно слоя K2, вследствие непрерывности потенциала выражение для U2 останется в силе также и на внешнем контуре; поэтому равенство (11), если его применить к точке P и принять во внимание, что т
(масса K2) имеет значение 4ir 1J ja (s) s2 ds, даст
1 г
U2=W- U(s)s2ds.
Отсюда получается искомое выражение потенциала для внутренних точек притягивающего слоя, а именно
R р
U=w{fn(s)sds-}-±fp(s)s2ds} (2?2<p<i?j). (13)
р J?,
В случае однородного слоя (плотность постоянна), выполняя указанное интегрирование, найдем
и, в частности, для полной сферы с радиусом R (R1 = R, R2 = 0) U= 41Г/Ц1 ^2-Ip2) (р<Д). (13')
24. Как мы видим и как это можно предвидеть из соображений симметрии, потенциал сферического слоя, составленного из однородных сферических слоев, зависит только от расстояния р притягиваемой точки P от центра слоя. Поэтому эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы, а силовые линии — соответствующие радиусы, так что притяжение 84
