Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если мы перейдем ко вторым производным от функции [i/r по координатам х, у, з точки Р, то на основании п. 6 увидим, что 76
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
если P будет совпадать с какой-нибудь точкой Q притягивающей массы, то производные обратятся в бесконечность порядка, не превышающего 3, так что мы сталкиваемся здесь с одним из тех случаев, когда, согласно критерию п. 10, интегрируемость остается сомнительной. Мы ограничимся здесь лишь утверждением, что эти вторые производные от потенциала по х, у, z существуют и непрерывны внутри притягивающей массы, если непрерывна плотность р.; но их нельзя получить путем дифференцирования под знаком интеграла, и они обнаруживают разрывы при переходе через границу.
13. Если, далее, мы будем рассматривать потенциал TJ поверхностного распределения материи, то, как и выше, увидим, что он будет конечным и непрерывным в точках поверхности, благодаря тому что функция р/г при совпадении притягиваемой точки P (х, у, z) с точкой Q ($, т), С) притягивающей поверхности остается все еще бесконечно большой величиной первого порядка. Но здесь, вследствие того, что речь идет об интеграле по области двух измерений, на основании критерия п. 10 уже для производных первого порядка от , подинтегральной функции будет иметь место сомнительный случай интегрируемости, так как эти производные при совпадении точки PcQ обращаются в бесконечность порядка не выше 2. Подобно тому, как мы поступили выше, в п. 12, мы ограничимся и здесь утверждением, что первые производные от TJ существуют даже тогда, когда притягиваемая точка безгранично приближается к притягивающей поверхности иди лежит на ней, но представляют разрывы при переходе через поверхность и не могут получиться прямым дифференцированием под знаком интеграла.
Наконец, в случае материальной линии I критерий п. 10 показывает, что потенциал
і
обращается в бесконечность на притягивающей линии, поскольку речь идет об одномерном интеграле от функции, которая внутри области интегрирования обращается в бесконечность первого порядка.
14. Обычная физическая интерпретация аналитических выводов, полученных выше, позволяет дополнить результат п. 7.
Для определенности обратимся к наиболее интересному и ясному случаю трехмерного распределения материи и попытаемся отдать себе отчет о притяжении телом С точки P (единичной массы), расположенной внутри него (или на поверхности). Заключим точку P в малый объем внутренний для пространственной области S, занятой телом С, например в маленькую сферу (или часть ее) C центром в P и с достаточно малым радиусом 8, и обозначим § s. приложения
77
через С* тело, которое получится после удаления из тела С маленькой части его if- Областью, занимаемой телом С*, будет 8* = S — f Сила притяжения, с которой О* действует на Р, на основании п. 7 имеет проекции
г O1 /. д~ г д~
f5^dS' ffv-irdS.
s* s* s*
Если мы будем приближать объем f к нулю, стягивая его в точку Р, то проекции силы притяжения будут стремиться к интегралам по области S, т. е. к интегралам
а±
ffr-?dS, f f V--Jjf dS; (8)
SSS
это будет иметь место, какова бы ни была форма полости к, которую мы должны представлять себе в 8, и каким бы способом мы ни заставляли ее стремиться к точке Р. Если теперь представим себе, что при этом переходе к пределу, вводя последовательно все новые и новые материальные элементы тела С, придется исчерпать их все, то физически окажется оправданным рассмотрение выражений (8) как проекций силы притяжения, действующей на P от целого тела.
В заключение, учитывая также результат, сформулированный в конце п. 7, мы можем сказать, что для любой притягиваемой точки (масса которой равна единице), будет ли она внешней иди внутренней для притягивающего тела (иди находящейся на его поверхности), проекции силы притяжения, действующей на нее, будут производными по координатам точки от потенциала
u{x, у, *) + /¦ J^dtf.
s
Речь идет, следовательно, о консервативной силе, которая является (векторной) непрерывной функцией от притягиваемой точки во всем пространстве.
§ 3. Приложение
15. Изложенного в предыдущих пунктах достаточно для действительного определения потенциала в некоторых простых случаях, которые, впрочем, являются наиболее важными для механических приложений. 78
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
16. Притяжение однородной сферической поверхности. Прежде всего рассмотрим силу притяжения, действующую на точку Р, внутреннюю для сферы, ограниченной притягивающей поверхностью о (фиг. 24). Пусть do есть любой элемент поверхности этой сферы, Q— точка, внутренняя для элемента. Обозначая через v поверхностную плотность (по предположению, постоянную), можно будет самый элемент уподобить материальной точке, совпадающей с Q, с массой V da (конечно, с точностью до бесконечно малых порядка, высшего, чем порядок da).
Если мы рассмотрим элементарный конус с основанием da н с вершиной в точке Р, то соответствующие образующие, продолженные за вершину Р, вторично пересекут сферическую поверхность по контуру элементарной площадки da'; если мы обозначим через Q' точку пересечения со сферой прямой PQ, находящуюся по другую сторону от P по сравнению с Q, то элемент da' можно рассматривать как другую материальную точку, помещенную в Q' и с массой vdo'.
