Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
3. Первое определение постоянной f путем прямого лабораторного опыта было сделано Кэвендишем (1797)'). Впоследствии для определения f были применены другие, более точные способы. Все они дают для f численное значение (в круглых цифрах) 6,7 • Ю-8 (в системе CGS), т. е. 67 миллиардных долей дины, равное 6,7 • 10-8/980 г, или около 6,7 • IO"11 г2).
Ввиду крайней малости этого числа притяжение /1^p-двух масс
может стать ощутимым только тогда, когда будет очень большим произведение Wim1 или же очень малым знаменатель г2. Первый случай имеет существенное значение для астрономии, второй встречается в молекулярных явлениях (которые, впрочем, в отличие от астрономических явлений нельзя рассматривать, пользуясь только законом всемирного тяготения, так как необходимо учитывать и многие другие элементы). При значениях т, Hnl и г, встречающихся в обычных практических задачах, можно, очевидно, не принимать во внимание влияние взаимного притяжения. Это, конечно, будет справедливо до тех пор, пока обе массы будут иметь величину обычных предметов; но этого нельзя делать, когда одна из них представляет собой массу Земли. В этом случае, напротив, необходимо учитывать ньютоново притяжение Земли: оно, как это будет разъяснено в дальнейшем (гл. XYI), определяет, хотя и не вполне, но в существенной части, вес тела.
§ 2. Потенциал
4. Если даны две материальные точки P и Q, то по закону Ньютона они испытывают равные и прямо противоположные притяжения. Очень часто приходится рассматривать только одно из них, например, притяжение, испытываемое точкой Р. Тогда обнаруживается различная роль, приписываемая обеим точкам QnP. Мы будем называть Q притягивающей точкой (или притягивающей массой) и P — притягиваемой точкой.
]) Кэвендиш Генри родился в Ницце в 1731 г., умер в Лондоне в 1810 г. Выл членом Лондонского королевского общества и членом Французской академии наук.
Доклад о его опытах над притяжением тел был опубликован под названием «Experiments to determine the density of the Earth» (Philosophical Transactions, 1798).
iI Новейшие определения указывают для f численное значение 6,664 • 10 • См., например, доклад: P. R. Heyl, Proc. of the National Academy of Sciences, т. 13, Вашингтон, 1927, § 2. ПОТЕНЦИАЛ
67
Легко убедиться, что притяжение точки P точкой Q, рассматриваемое в зависимости от положения точки Р, является консервативной силой. Достаточно заметить, что мы имеем дело с центральной силой, так как линия действия силы притяжения. должна постоянно проходить через точку Q (положение которой не зависит от положения, или, что одно и то же, от координат точки P);
величина f является, очевидно, функцией только расстояния г
точки P от центра притяжения.
Так как сила является притягивающей, то ее радиальная проекция (т. е. проекция на направление QP) имеет значение —/1-1-.
Это и есть та функция от г, которую мы обозначали через <р (г), рассматривая центральные силы в общем случае [гл. YII, п. 29, в]. Мы видели тогда, что потенциал U есть не что иное, как неопределенный интеграл от функции <р (г); поэтому в настоящем случае, с точностью до несущественной аддитивной постоянной, мы будем иметь
И— f mmi ' г '
Отметим, что мы придем, очевидно, к тому же самому выражению, если переменим роли точек PnQ.
Поэтому потенциал U, рассматриваемый как функция от координат точки Р, определяет проекции силы притяжения, испытываемой точкой P; наоборот, если потенциал рассматривать как функцию от координат точки Q, он определит проекции притяжения, испытываемого точкой Q.
Все это можно доказать формально, вводя координаты х, у, st точки P и Xu уи S1 точки Qy после чего мы будем иметь
t = y (х- x1)I2 + {у - уд* + (* — ^i)2; выполнив дифференцирование U по различным аргументам, получим
dU __ дТТ_ J^mm1X — X1
дх дх1 г'1 г '
дЦ__дЦ___^mm1 у —
ду дуг ' r% г '
дТТ__дЦ__ ^mm1 s — S1
дг dsx ' г2 г
В последних частях этих равенств стоят проекции вектора длиной /1^lp с направляющими косинусами (X1 — ж)/У, (yL—y)jr,
(Z1 — z)jr\ эти направляющие косинусы и показывают, что мы имеем здесь дело с притяжением, испытываемым точкой Р. Приравняв эти проекции соответственно первым или вторым частям равенств, 68
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
мы и получим формальное доказательство высказанных выше утверждений.
5. В дальнейшем мы будем рассматривать P только как притягиваемую точку и будем предполагать, что имеется какое угодно число притягивающих точек Qi (г = 1, 2, ..., и); обозначив через Hii массу точки Qi, через хи уи Si ее координаты, через Ti ее расстояние от точки Р, мы будем иметь для каждого из испытываемых этой точкой притяжений потенциал f^L и, следовательно,
ri
для результирующей силы потенциал, определяемый суммой
п
г.тт\ ¦ „тщ , . , ттп „ Vl т{
' TT+^+••• ZiTi'
І = 1
Обычно (см. замечание из гл. YII, п. 24, по поводу любого силового поля) отвлекаются от множителя т, и называют ньютоновым потенциалом (потенциалом притяжения, испытываемого точкой P от притягивающих масс ти m2, ..., тп) функцию
