Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
17. Показать, что радиус инерции однородного прямоугольника со сторонами а, Ъ относительно стороны длиной а равен ЬІ Уз.
18. Радиус инерции однородного треугольника относительно одной из сторон равен hj У6, где h — соответствующая этой стороне высота. Пока- 60
ГЛ. X. ГЕОМЕТРИЯ МА.СС
зать, что радиус инерции относительно перпендикуляра к плоскости треугольника, проведенного через центр тяжести, равен >Лга + Ь3 + с2/6 (а, Ъ, с— стороны треугольника).
19. Определить центральный эллипсоид инерции полого параллелепипеда (коробки, ящика и т. п.), т. е. однородно распределенной массы, заключенной между двумя прямыми прямоугольными параллелепипедами, имеющими один и тот же центр и параллельные грани [сначала составляется разность между главными моментами инерции обоих параллелепипедов (п. 82), относящимися к общему центру].
20. Дана кубическая коробка, грани которой имеют столь малую толщину, что их можно уподобить материальным поверхностям. Показать (или на основании предыдущего упражнения, или обращаясь к пп. 33 и 21), что радиус инерции относительно одной из центральных осей, параллельной одному из ребер, равен VIQajfi, где а — длина ребра.
21. Доказать (вспоминая п. 33), что центральные моменты инерции прямоугольной рамы (масса, равномерно распределенная между двумя прямоугольниками с одним и тем же центром и с параллельными сторонами) относительно прямых, параллельных сторонам, суть
— (ЯВЗ-AP),
12
(BHз-ЬР),
где: V — плотность;
В ті H— основание и высота внешнего прямоугольника; Ь и h — соответствующие размеры внутреннего прямоугольника.
22. Сечения балок имеют форму I, С, "L (фиг. 21). Доказать, что для каждого из трех сечений момент инерции относительно центральной оси,
параллельной основаниям (т. е. отрезкам длиной В и Ъ), равен
12
(Вт — ЪШ),
где V есть постоянная поверхностная плотность.
23. Сечения балок имеют форму Н, —), + (фиг. 22). Доказать, что для момента инерции будем иметь выражение
--(ВЯЗ + Ш). УПРАЖНЕНИЯ
61
24. Доказать, что радиус инерции круглого однородного диска относительно одного из диаметров равен половине радиуса диска (Ср. пп. 28 и 37).
H
H h :h H ь H
Ь Ь
Ib
гВ
В
Фиг. 22.
25. Доказать что для кругового однородного кольца, заключенного между двумя окружностями с радиусами B1, B2, момент инерции относительно од-Ttv (В\ - 1ф
ного из диаметров равен ----(ч — плотность), а момент инерции относительно оси, перпендикулярной к плоскости кольца и проведенной через центр, вдвое больше (п. 28).
Соответствующими радиусами инерции будут
jYbI + BI и іҐ\{.В\ + В\
26. Доказать, что радиус инерции однородной сферической оболочки относительно любого диаметра равен
V
2 (4-Bi)
5 (Bi1-Ri2)
где B1 и B2 — радиусы обеих сфер, ограничивающих оболочку.
27. Доказать, что моменты инерции однородного эллипса относительно его осей равны
¦ab«,
¦Ъа\
где: V — плотность; а и Ь — полуоси.
28. Доказать, что главные радиусы инерции* (относительно центра тяжести) эллиптического однородного кольца, заключенного между двумя го-мотетическими эллипсами с полуосями а,Ъ и qa, qb (q <[ 1), равны соответ-
VT+fi
ственно 6¦
V1 + <72
а- (для Ъ = а см. упражнение 25).
29. В однородном (прямом) круговом конусе высота равна половине радиуса основания. Доказать, что эллипсоид инерции относительно вершины есть шар.
30. Пусть и есть меридианное сечение какого-нибудь тела вращения, не пересекаемое осью вращения Ог\ G0 — центр тяжести сечения; Gc0? — ось, проходящая через центр тяжести сечения параллельно оси вращения; В — расстояние от G0 до оси вращения; х — расстояние любого элемента da от оси; 62
ГЛ. X. ГЕОМЕТРИЯ МА.СС
5 — абсцисса элемента der (расстояние, отсчитываемое с надлежащим знаком) относительно осей Cr0S? с началом в центре тяжести.
Если обозначим через [J. плотность тела, предполагаемого однородным, то часть его, образованная вращением любого элемента efo, очевидно, имеет момент инерции
2я[лсс3 da.
Следовательно, момент инерции тела равен
I = 2я[і J* аР da
а
или
1=2щ J (й+ 5)3 da.
о
Далее, предполагая, что Gq является осью симметрии для площади а и припоминая теорему Гюльдена (п. 17), доказать, что
Z = т (Б? + 3?),
где т есть масса тела, а S0—радиус инерции сечения а относительно прямой G0^ (параллельной оси вращения и проведенной через центр тяжести).
81. Для тела вращения, ось симметрии которого принимается за ось Oz, имеем (п. 25) «і = S2 и, следовательно, при обозначениях предыдущего упражнения,
1 г
Si = «2 = "2 L
Выражение для суммы S3 = (так как координата «любого элемента
і
da одинакова для всей части, образованной вращением этого элемента) можно написать в виде
S3 = 2я[л j zlx da. о
Предположим, что за плоскость Oxy принята плоскость, содержащая центр тяжести меридианного сечения; тогда ось х будет совпадать с осью S и мы будем иметь
,S3 = 2it[i J г2 (в +1) dcr.
о
Считая и здесь, что G0C является осью симметрии для о, и обозначая через S0 центральный радиус инерции сечения а относительно CroS (перпендикуляр к оси вращения), будем иметь
