Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
S3 =
Отсюда получаем следующее правило:
Пусть S есть однородное тело вращения, меридианное сечение которого а имеет ось симметрии, параллельную оси вращения. Пусть SmS' — радиусы инерции тела 8 относительно оси врагцения и некоторой (какой угодно) перпендикулярной к ней прямой, проведенной через центр тяжести тела. Rx можно выразить через радиусы инерции S0 и S0 площади мери- упражнения
68
диаииою сечения а относительно осей, проходящих через центр тяжести сечения, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к оси вращения, по формулам
82 = Д2 352,
где В есть средний радиус (расстояние от центра тяжести любою сечения до оси вращения),
N. В. В упражнениях 32—36 Ь и Ь' имеют только что указанное значение и тела предполагаются однородными.
82. Доказать, что для цилиндра (-B — радиус, А — высота) имеем
2
(как это уже было получено в п. 33) и
4 12
88. Доказать,
что для полого цилиндра (?* —радиусы внешней и внутренней стенок, h — высота) имеем
v„.....в\+вІ , л2
12 '
84. Доказать, что для тора (В — средний радиус, г—радиус образующего круга) имеем
52 = W +1 r\ S'2 = — EP + I- г*.
85. Доказать, что для кольца с эллиптическим сечением (R — средний радиус, а и Ь — полуоси сечения, вторая из которых параллельна оси вращения) (ср. пример 27) имеем
82 = Д2_(_3 2 1 да+Зоа+18«
'4 2 ' 8 ' 4
36. Представим себе, что параболоид вращения пересечен плоскостью, перпендикулярной к оси. Пусть В есть радиус сечения. Доказать, что для соответствующей части параболоида имеем
5 = BlYJ.
87. Маховое колесо состоит из втулки (сквозь которую проходит вал), обода и шести спин (расположенных радиально на расстоянии 60°), соединяющих втулку с ободом.
Среднее сечение (плоскостью, перпендикулярной к валу) втулки ограничено двумя окружностями с радиусами rt = 40 см, r2 = 20 см; сечение обода ограничено двумя окружностями с радиусами Bi = 2 м, Bi = 1,80 м-, толщина (нормальная к плоскости сечения) как втулки, так и обода равна 40 см. Спицы представляют собой цилиндры с радиусами 8 см и высотой JJ2 — T1 = 1,40 и. Удельный вес материала (предполагаемого однородным) равен 7,5. 64
гл. x. геометрия ма.сс
Вычислить момент инерции I махового колеса относительно оси вращения.
Ответ: I = 2835,12 Kt- м- сек2. Выразить Io в системе CGS.
38. Два стальных шара (однородных и равных между собой) соединены посредством двух цилиндрических стержней (однородных, равных и соос-ных) со втулкой (однородной) в виде тора, которая может вращаться вокруг вала (фиг. 23). Среднее сечение, нормальное к оси, имеет вид, представленный на фигуре.
0=<§>=0
Фиг. 23.
Радиусы шаров равны 10 см, радиусы цилиндрических стержней — 1 см, длины стержней — 40 см. Средний радиус сечения втулки равен 6,5 см, радиус меридианного сечения втулки —1,5 с«. .Стержни и втулка сделаны из дерева. Удельный вес стали 7,6, удельный вес дєр"' числить мо-
мент инерции системы относительно оси вращен'"
Ответ-. I = 2,21 кг. м • сек2. Глава Xl
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О НЬЮТОНОВОМ ПРИТЯЖЕНИИ
§ 1. Общие соображения
1. В дальнейшем, при изучении динамики, мы увидим, какие индуктивные соображения (основанные на законах Кеплера и на основном уравнении механики, связывающем массу, ускорение и силу) привели Ньютона к формулировке его знаменитого закона всемирного тяготения. Этот закон получил удивительные приложения к объяснению и предвидению разнообразных астрономических и земных явлений. Не касаясь здесь вопроса о происхождении закона Ньютона и его конкретных приложений, мы обратимся сейчас к выяснению природы сил, определяемых этим законом.
Изучение этих сил является настолько важным (же только для механики, но также и для других областей математической физики), что оно вылилось в создание особой дисциплины, так называемой теории потенциала.
Мы ограничимся здесь изложением лишь первоначальных сведений по этой теории.
2. Пусть P и Q — две материальные точки с массами соответственно т и W1, расположенные на расстоянии г друг от друга. Они притягивают друг друга (закон всемирного тяготения) с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Таким образом, каждая из двух масс действует на другую с силой притяжения, равной по величине
/, TOTOj I ?-2 '
где множитель пропорциональности f является универсальной постоянной, одинаковой для любых нар материальных точек (принадлежат ли они земным телам иди входят в состав каких угодно других небесных тел). Коэффициент f называется постоянной всемирного тяготения иди постоянной Гаусса. Эта постоянная, очевидно» может быть истолкована (если положить W = ^m1 = г = 1) как сила> с которой притягиваются две единичные массы, расположенные на расстоянии, 'равйом единице. По размерности она, однако» не однородна с силой. Действительно, так как величина fmmjr2 имеет 66 гл. Xi. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О НЬЮТОНОВОМ ПРиТЯЖЕНИЙ
размерность силы (Й_2«г), то размерность f определится равенством
[f] = Pt-^m-К
