Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
89
Предположим, наоборот, что точка Q является внутренней для о. Когда притягиваемая точка P стремится к Q вдоль перпендикуляра как с одной, так и с другой стороны от плоскости, то нормальная составляющая притяжения стремится, по абсолютной величине, к 2ir/v; так как с обеих сторон от плоскости она имеет противоположные знаки, то мы приходим к следующему заключению: если притягиваемая точка проходит ортогонально сквозь притягивающую поверхность, то нормальная составляющая притяжения испытывает разрыв, изменяясь на Это является частным случаем общего результата, который мы указали в п. 18.
28. Притяжение произвольным телом удаленной точки. Пусть Д есть наибольший размер части S пространства, занятой притягивающим телом С (наибольшее расстояние между двумя точками тела). Если расстояние р притягиваемой точки P от любой точки О из S столь велико (по сравнению с размерами тела), что отношение Д/р можно считать ничтожным, то все точки пространства S (в отношении их расстояния до Р) будут .как бы совпадать с геометрической точкой О и притяжение будет таким, как если бы вся масса т тела была сосредоточена в О; следовательно, прямая PO является линией действия силы притяжения; величина силы притяжения равна fmjp*, а соответствующий потенциал равен fmjp.
Предположим теперь, что отношение Д/р не настолько мало, чтобы им можно было пренебречь, но все же оказывается возможным пренебречь подходящей степенью этого отношения, например квадратом или кубом. Притяжение тела нельзя уже считать совпадающим с притяжением одной только точки с массой т, помещенной в О, так как будут иметь место небольшие отклонения от величины и направления этого притяжения. Мы определим эти отклонения (с точностью до величин определенного порядка по сравнению с отношением Д/р), указав поправочные члены, которые нужно присоединить к выражению fmjp (точечного) потенциала, чтобы производные дали проекции притяжения в пределах нужного приближения.
Введем для этой цели следующие обозначения: г — расстояние точки P от какой-либо точки Q из S, ^ — плотность тела в Q, IQ, С — координаты точки Q относительно какой-нибудь системы осей координат Oxyz с началом в точке О, 8 — радиус-вектор OQ, X, у, z— координаты точки P относительно той же самой системы координат и, наконец, 6 — угол между полупрямыми OP и OQ.
Из треугольника OPQ имеем
^ = P2 +б2 —2pS cos 6,
откуда
— = — (1-ш)~'1гг
Г Pv ' ' 90
гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжений
где для краткости положено
28р cos 6 — S2 Sf0 ,, 8 )
ш = г „-= — { 2 COS 9--}.
р2 pi р J
Если заметим, что радиус-вектор 8 не может превзойти наибольший размер Д тела S, то тотчас же увидим, что со будет малой величиной первого порядка, так что если обозначим через (3) выражение третьего порядка по сравнению с отношением 8/р, то из разложения в биномиальный ряд будем иметь
(!_„)-'/.«! +1ю + |.а,а + (з), Кроме того, имеем
= 4 COS2 6 + (5); поэтому, выявляя члены двух первых порядков, можно написать 7 = у (1 — <*>)~'!з = у 11 -J- у cos 6 -J- і ~ (3 cos2 6-і) + (3) I • (18) Внесем это значение Ijr в выражение потенциала
U=ff^dS
S
и положим
CT0 = ? J ^dS= f-y, (19)
S
^i = Tflx8cos9ds' (2°)
9 в
U2 = t Jixi82(3cos2O — l)dS: (21)
s
теперь, обозначая через U* дополнительный член — Г ja (3) dS,
р S
будем иметь
U =U0+U1+U2+U*. (22)
В первых трех слагаемых мы имеем соответственно точечный потенциал и поправки первого и второго порядка. Найдем их явные выражения на основе равенств (20) и (21).
29. Если заданы значения 8 и 0, то произведение 8 cos 8 будет
не чем иным, как проекцией вектора OQ, т. е. радиуса-вектора точки Q, на направление OP. Можно также сказать, что если OP § s. приложения
91
рассматривается как положительное направление одной из осей координат, то 8 cos 8 = q представит соответствующую координату точки Q. Теперь (гл. X, п. 15)
J |ig dS = mq0,
S
где q0 означает соответствующую координату центра тяжести Q0,
или, если угодно, проекцию радиуса-вектора OQ0 на OP. Равенство (20) можно, таким образом, представить в виде
U==f**L. (20')
1PP 4 '
Количество q0 зависит одновременно от положения центра тяжести притягивающего тела и от ориентации OP, или, по существу, от координат х, у, z притягиваемой точки. Желательно выставить эти координаты на вид, так как для перехода к проекциям силы притяжения необходимо дифференцировать по х, у, z.
Обозначим для этой цели через ?0, Tj0, C0 координаты центра тяжести Q0 по отношению к системе Oxyz, которые, очевидно, не зависят от притягиваемой точки Р. Учитывая, что направляющие косинусы OP суть ж/р, у/р, z/p, непосредственно будем иметь
и поэтому
^ = ^(^ + ?/ + ^). (20")
Отсюда [как, впрочем, также и из равенства (20')] следует, что поправка первого порядка Ui равна тождественно нулю, если точка О совпадает с центром тяжести, т. е. притяжение тела равно притяжению материальной точки, имеющей массу тела и помещенной в центре тяжести.
ВО. Перейдем теперь к вычислению величины U2 и начнем с тождества
