Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 37

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 134 >> Следующая


5. Показать, что притяжение (чисто осевое) однородным круговым диском точки на его оси (перпендикулярной к плоскости диска и проведенной через центр) выражается в виде

а = 2«Л| I--P=L=I, У V В?+ г*)

где: R — радиус диска;

ч — плотность (поверхностная);

г — расстояние от притягиваемой точки до диска (ср. п. 27).

в. Из предыдущего упражнения следует, что притяжение однородного кругового диска в точках оси, очень близких к самому диску (величиной я можно пренебречь по сравнению с R), равно 2n/v. 98

гл. xi. краткие сведения о ньютоновом притяжении

Отсюда независимо от п. 27 можно получить притяжение плоской площади а, имеющей какую угодно форму и плотность.

Рассмотрим точку Р, лежащую вне плоскости площади о и очень близкую к а. Пусть О есть ее проекция (лежащая внутри площади). Пусть, далее, Q есть какая-нибудь точка площади, отличная от О, и da — окружающий ее элемент. Притяжение элементом da точки P имеет линией действия прямую PQ, которая составляет с плоскостью площади а тем меньший угол, чем ближе точка P к плоскости. Проекция элементарного притяжения на перпендикуляр к плоскости стремится поэтому к нулю, когда P приближается к О. Это заключение, верное в предположении, что точка Q отлична от О, теряет силу, когда Q совпадает с О, т. е. когда рассматривается элемент da о притягивающей плоскости, составляющий непосредственную окрестность точки О.

Мы доказали таким образом, что предельное значение а0 (при Р, стремящемся к О) нормальной составляющей притяжения всей площади о. действующего на Р, равно притяжению элемента йо,.

Но притяжение элементом do0, очевидно, будет то же самое, каковы бы ни были dpyvue элементы, составляющие вместе с ds0 площадь а.

При частном предположении, когда йз представляет собой центральный элемент однородного кругового диска, мы уже знаем значение о0. В этом случае, обозначив через V0 значение плотности в точке О, будем иметь

а0 = 2r/'j0.

То же самое соотношение будет иметь место й во всяком другом случае.

Установив это, найти результирующую притяжений, действующих между двумя однородными плоскими пластинками, равными между собой и расположенными в параллельных, очень близких между собой плоскостях таким образом, что одна является нормальной проекцией другой.

Ответ. Результирующая будет нормальна к плоскостям пластинок н равна 2tc/V2c (а — площадь каждой из пластинок, ч — плотность).

7. Вычислить притяжение (чисто осевое) со стороны однородного кругового цилиндра ([* — плотность, R— радиус, h — высота) в точке на его оси.

(Представить себе цилиндр разделенным на элементарные слои, уподобляемые дискам, посредством плоскостей, параллельных основаниям, и воспользоваться формулой упражнения 5.)

Ответ. Для внешней точки, отстоящей на s от ближайшего основания:

S і -Ti

a^ Л1"ТжЫ* =

3

= 2 Kfv. {h + Yr2+S2 — YR2 + о*+/о2)- ш

Для определения притяжения во внутренней точке следует прежде всего обратиться к п. 12 и рассуждать, как в п. 23.

Обозначив через s расстояние от ближайшего основания, найдем, считая заположительные притяжения,направленные к более удаленному основанию,

= 2K/V (А - 2«) { 1 - h -1. (2)

I V R? + (h—s)z+YR- + s-' упражнения

99

Для одного из двух центров оснований (полюсов) имеем (безразлично из формулы (I) или (2), полагая в них 4' = 0)

А = 2it/V- {h +R —VlV + № }. (3)

8. Обозначим через Ar притяжение, с которым заданная однородная масса, имеющая форму сферы (полной), действует на какую-нибудь точку ее поверхности, через А притяжение той же самой массой, распределённое по объему цилиндра, на его полюс [ср. предыдущие формулы (3)1.

Показать, что

А _ fafoS

А' + уг+^з'

где а обозначает отношение JtJR высоты цилиндра к его радиусу.

Показать еще, что:

1) отношение AjA' стремится к нулю как для цилиндра с очень малой высотой, так и для цилиндра очень удлиненной формы (т. е. при а, стремящемся к нулю или к со);

2) отношение AjA' допускает один (и только один) максимум, соответствующий значению «= 1,6404 (являющемуся корнем уравнения

9

а2 — — а -)- 1 = 0, большим единицы);

3) в условиях максимума притяжение А цилиндром очень немного превосходит (меньше чем на 1%) притяжение А' сферой;

4) имеются два цилиндра, для которых А равно А'; в одном из них диаметр в полтора раза больше высоты.

См., например, Tisserand, Traite de mecanique celeste, т. И, Париж, 1891, стр. 72, где имеется полное доказательство.

9. Вычислить притяжение, вызываемое однородным телом вращения (или частью такого тела, заключенной между двумя плоскостями, перпендикулярными к оси) в какой-нибудь точке на оси тела.

Предположим, для определенности, что притягиваемая точка P является ннешней для тела, и условимся отсчитывать координаты е от точки Р, вибрав положительное направление на оси г в сторону притягивающего тела.

Пусть s — s и z — s + h будут крайними параллелями и ж — <р (г) уравнением меридианной кривой.

Достаточно представить себе тело разбитым на элементарные слои между очень близкими друг к другу плоскостями, перпендикулярными к оси, и обратиться к упражнению 5, чтобы тотчас найти
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 134 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed