Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Для механического изучения заданной системы основное значение имеет следующее замечание. Выбрав произвольную материальную точку P системы S, мы всегда сможем указать, какие из всех сил, действующих на систему (как активных, так и реакций связей), прилолсены к точке Р, и разделить их на две категории:
1) силы, представляющие собой действия на точку P других точек системы S и, в частности, точек, смежных с Р; эти силы называются внутренними силами (активными или реакциями связей);
2) силы другого происхождения, представляющие собой- действия на точку P материальных точек и тел, внешних по отношению к системе S, например вес, если система S предполагается находящейся в обычном поле силы тяжести, или реакции опоры, не входящей в S, и т. д. Силы этой категории (как активные, так и реакции связей) называются внешними.
Заметим, что обычно, когда говорят без дальнейшего уточнения о силах, действующих на систему, при этом подразумевают только внешние силы. § 2. необходимые условия равновесия
103
3. Из самого определения внутренних сил и из принципа равенства действия и противодействия вытекает замечательное свойство этих сил. Так как всякая внутренняя сила /, приложенная it какой-нибудь точке P системы, представляет собой действие другой точки Q той же самой системы, то по принципу равенства действия и противодействия существует сила—/, представляющая собой действие точки P на точку Q и поэтому тоже внутренняя. Отсюда вытекает, что. внутренние силы, рассматриваемые в их совокупности, попарно равны и прямо противоположны, так что мы приходим к следующей теореме: во всякой материальной системе, находящейся под действием сил, внутренние силы по самой их природе таковы, что приложенные векторы, представляющие эти силы, составляют систему, эквивалентную нулю, или уравновешенную, т. е. систему, результирующий вектор и результирующий момент которой (относительно всякого центра приведения) равны нулю.
Заметим, что эта теорема приложима также ко всякой системе S', полученной путем мысленного выделения одной части данной системы 8; необходимо только обратить внимание на то очевидное обстоятельство, что среди сил, действующих на систему S', внешними для 8' будут не только силы, являющиеся одновременно внешними и по отношению к системе 8, но и те из сил, внутренних по отношению к 8, которые представляют собой действия на систему 8' точек системы S, не принадлежащих к 8'.
4. Основные уравнения равновесия. Предположим теперь, что материальная система 8 находится в равновесии под действием некоторых сил; этим мы хотим сказать, что если система 8 в данный момент находится в покое, то рассматриваемые силы не могут вызвать ее движения.
Если, как уже предполагалось выше, вместо возможных связей, существующих между точками системы 8, представим себе соответствующие силы (реакции), заменяющие действие связей, то систему можно будет рассматривать как состоящую из совокупности свободных материальных точек, каждая из которых находится в равновесии под действием приложенных к ней сил (активных и реакций связей).
Поэтому если мы разделим силы, действующие на произвольную точку P системы 8, на внешние и внутренние и обозначим через F результирующую первых, через / результирующую вторых, то для всякой отдельной точки из 8 (гл. YII, п. 11) будем иметь
F+/= 0, или F=> — /.
Рассмотрим теперь, с одной стороны, систему всех внешних сил и, с другой — систему всех внутренних сил, действующих на систему 8. Так как система внутренних сил векторно эквивалентна 104 гл. xii. принцип равенства действия и противодействия
нулю (предыдущий пункт), то такой же будет и система внешних сил, т. е. если какая-нибудь материальная система находится в равновесии под действием некоторых сил, то система приложенных векторов, представляющих внешние силы (активные и реакции связей), действующие на систему, эквивалентна нулю. Если векторы JB и Ж представляют собой результирующий вектор и результирующий момент внешних сил по отношению к какому-нибудь центру приведения О, то предыдущее условие равновесия выражается двумя векторными уравнениями:
JS = O, M = 0; (1)
уравнения (1) после проектирования на оси какой-нибудь системы координат дадут шесть скалярных уравнений:
2Х = 0, Sir=O, I1Z=O;
^(yZ—BY)=0, ^(bX — xZ) = 0, h(xY—yX) = О,
где суммы должны быть распространены на все точки х, у, в системы 8, к которым действительно приложены внешние силы (активные или реакции связей). Если эти точки распределены непрерывно (в пространстве трех, двух или одного измерения), то указанные выше суммы должны быть заменены интегралами по области (трех, двух или одного Измерения), распространенными на все материальные элементы системы 8, на которые действуют внешние силы.
Уравнения (1) или (1'), которые, как мы видели, выражают необходимые условия равновесия всякой материальной системы, называются основными или общими уравнениями равновесия.
5. Чтобы оценить большую общность основных уравнений, заметим, что если материальная система 8 при заданных внешних силах находится в равновесии, то будет находиться в равновесии и всякая ее часть S', если предположить, что на нее действуют все силы, которые являются по отношению к ней внешними (по отношению к 8 эти силы могут быть как внешними, так и внутренними) (п. 3). Таким образом, уравнения (1) или (1') оказываются приложимыми не только ко всей системе 8, но также и ко всякой ее части 8', для которой можно определить действующие на нее внешние силы, хотя бы в суммарном виде, представленном их результирующей и их результирующим моментом по отношению к какому-нибудь центру приведения.
