Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Sx = O, Sr=O, 2^=0; Ї
S (yZ—0У) = О, S (еХ — xZ) = 0, S (жУ — уХ) = о, J
где суммирование распространяется на те точки твердого тела, к которым приложены внешние силы, и суммы должны быть заменены интегралами, распространенными на область (одного, двух или трех измерений), когда эти точки распределены непрерывно.
В частных случаях уравнения (1') можно свести к меньшему числу, так как некоторые из них могут удовлетворяться тождественно. Например, если все внешние силы действуют в одной и той ;ite плоскости тг, то в той же плоскости лежит и их результирующая сила II, тогда как результирующий момент Ж (по отношению к какому угодно цептру, взятому в плоскости я) будет перпендикулярен к этой плоскости; поэтому если выбрать за координатную плоскость z = 0, то равенства (Ґ) приведутся к трем уравнениям
S X - 0, Slr = O, S (¦'-' Y— уХ) = о.
§ 3. Равновесие несвободных твердых тел
4. Твердое тело 8 может быть подчинено не только внутренним связям неизменяемости, но и внешним связям, осуществляемым, например, посредством соприкосновения с другими твердыми телами или посредством сферических или цилиндрических шарниров, делающих неподвижной точку или прямую тела, и т. д. В каждом из этих случаев, если мы хотим применить к твердому телу 8, находящемуся под действием заданной системы сил, основные условия, необходимые и достаточные для равновесия, то к внешним силам нужно причислить также и реакции связей, наложенных на 110
гл. xiii. статика. твёрдого тела
тело; поэтому внешние силы, как это уже указывалось в п. 2 предыдущей главы, будут разбиваться на две категории:
1) активные, или прямо приложенные, силы, которые будем обозначать вообще через F;
2) реакции связей, которые мы будем обозначать через Ф.
Условия равновесия (1) или (1') содержат в себе как силы F,
так и силы Ф. Однако известными являются только активные силы F и способ осуществления внешних связен, но не соответствующие реакции Ф, которые входят в задачу в виде вспомогательных неизвестных.
Поэтому во всяком конкретном случае нужно прежде всего выяснить по заданным силам, возможно ли равновесие, т. е. нужно определить условия равновесия, выраженные носредством только известных элементов; затем нужно определить также и неизвестные реакции Ф или, по крайней мере, установить соотношения между реакциями и приложенными силами F. Исследование, относящееся к реакциям, может быть опущено, если для изучаемой задачи достаточно определить поведение активных сил при равновесии.
5. Твердое тело о одной закрепленной точкой. Пусть точка О твердого тела S закреплена. Примером такого тела является рычаг или вообще тязкелое тело, подвешенное на крюке посредством колечка О, неизменно связанного с телом. Если считать колечко и крюк точками, то можно сказать, что неподвилгность точки О тела будет обеспечена, каковы бы ни были силы, действующие на тело, лишь бы они не могли разорвать колечко, или сломать крюк, или вызвать у них заметные деформации.
Если к телу S приложены известные заданные силы F, то для того, чтобы учесть все внешние силы, действующие на S, мы должны присоединить к силам F реакцию Ф, возникающую в точке О благодаря действию устройства, обеспечивающего неподвижность тела. Если обозначим через H и M результирующую силу и результирующий момент относительно точки О одних только активных сил F, то неебходимые и достаточные условия для равновесия твердого тела (так как момент реакции Ф относительно О равен нулю) примут вид
JB -{- Ф = О, (2)
M=O. (В)
Последнее из этих уравнений показывает, что при равновесии тела результирующий момент активных сил относительно неподвижной точки равен нулю, или, другими словами, совокупность активных сил векторно эквивалентна одной силе 22, приложенной в точке О (гл. I, п. 39).
Легко видеть, что условие (3) достаточно для равновесия; это доказывается на основании теоремы п. 2, согласно которой для § 3. равновесие несвободных твердых тел
111
равновесия достаточно, чтобы уравновешивалась система сил, векторно эквивалентная действительной системе (которая в настоящем случае состоит из сил F, силы Ф и из внутренних сил /).
Примем в качестве системы, эквивалентной силам Fnf (эти последние в их совокупности эквивалентны нулю), силу j?, приложенную в неподвижной точке О. Точка О будет находиться тогда под действием равнодействующей сил JS и Ф, а так как
эта точка, по предположению, неподвижна, то уравнение (2) должно удовлетворяться и, следовательно, тело 8 должно находиться в равновесии.
Обыкновенно говорят более коротко: если условие (3) удовлетворяется, то система активных сил эквивалентна одной силе, приложенной в неподвижной точке О; эта сила уравновешивается реакцией в неподвижной точке.
Эта краткая формулировка, полное обоснование которой при помощи постулатов содержится в приведенных выше рассуждениях, отвечает нашим непосредственным физическим представлениям и оказывается удобной в приложениях, поэтому ее полезно запомнить.
Таким образом, условие (2) не накладывает никаких ограничений на активные силы F и служит только для определения реакции Ф в неподвижной точке О. Условием, необходимым и достаточным для равновесия, является условие (3), т. е. обращение в нуль результирующего момента всех прямо приложенных сил относительно закрепленной точки.
