Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому имеем теорему: для того чтобы силы F, прямо приложенные к твердому телу с закрепленной осью, уравновешивались, необходимо и достаточно, чтобы их результирующий момент относительно этой оси был равен нулю.
9. В случае твердого тела с одной закрепленной точкой О реакция Ф, возникающая в точке О при действии на тело системы сил, находящейся в равновесии, будет определена однозначно основными уравнениями как сила, прямо противоположная результирующей активных сил. 114
гл. xiii. статика. твёрдого тела
Если же речь идет о твердом теле с закрепленной осью, то относительно реакций, возникающих в закрепленных точках оси, основные уравнения равновесия утверждают только то, что их результирующая сила и результирующий момент (относительно данной точки) должны быть равны и прямо противоположны результирующей силе и результирующему моменту активных сил, но не дают возможности определить эти реакции в отдельных закрепленных точках оси. Таким образом, основные уравнения равновесия приводят к заключению, что в статических условиях действие связей можно зайенить какой угодно из систем реакций (эквивалентных между собой), приложенных в закрепленных точках и имеющих результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил. Такое заключение, очевидно, неудовлетворительно, так как с физической точки, зрения бесспорно, что при равновесии реакции всегда определяются однозначно. Мы приходим, таким образом, к новому случаю статической неопределенности, который можно сравнить со случаем, уже встречавшимся в п. IO гл. IX; эта неопределенность происходит от того, что в принципах статики твердого тела не принимаются во внимание деформации, вызываемые силами. Это вполне допустимо в первом приближении, Tciic KdiK деформации вообще бывают незначительными, так что следствия, которые вытекают из этого упрощающего предположения, в достаточной степени соответствуют результатам опыта. Но нельзя претендовать на правильное и детальное отображение всех обстоятельств, связанных с рассматриваемым явлением, если мы намеренно пренебрегаем какими-либо существенными элементами этого явления. Поэтому мы не должны удивляться тому, что относительно реакций Ф мы в состоянии определить лишь свойства, относящиеся к ним в целом (т. е. то, что они имеют результирующую силу и результирующий момент, прямо противоположные результирующей силе и результирующему моменту активных сил F), и не можем указать их распределение в каждой точке. Это достигается в теории упругости, где как раз учитываются указанные выше деформации.
10. Рассмотрим отдельно случай, когда на оси а имеются две закрепленные точки О и О' (например, две петли двери, когда обе они закреплены; ср. замечание из п. 6). В этом случае будут действовать только две реакции: одна из них, Ф, приложена в О, другая, Ф', в О'. Так как результирующая сила и результирующий момент этих реакций известны (при равновесии они соответственно равны и противоположны результирующей силе и результирующему моменту системы сил F), то на основании п. 7 заключаем, что неопределенность Ф и Ф' в этом случае сводится к двум осевым, равным и прямо противоположным составляющим. Если бы, например, было § 3. РАВНОВЕСИЕ НЕСВОБОДНЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
115
известно, что реакция Ф' нормальна к закрепленной оси, то обе реакции были бы вполне определенными.
На практике этот случай встречается тогда, когда речь идет об оси, закрепленной на одном конце О, в то время как другой конец опирается на подшипник.
Теоретически при неизменности расстояния OO' точка О' тоже будет закреплена. В действительности же указанное приспособление оставляет точке О' свободу для продольных удлинений и укорочений, которые могут иметь место благодаря несовершенной твердости оси и вытекающей из нее возможности малых упругих и термических деформаций, и позволяет избежать опасных усилий, которые могли бы появиться, если бы расстояние OO' оставалось строго неизменным.
Чтобы понять, почему при этих условиях реакция Ф' в !очке О' будет нормальна к оси, достаточно уподобить О' материальной точке, вынужденной оставаться на отрезке прямой (ось подшипника), и заметить, что при хороідо смазанных оси и подшипнике можно пренебречь трением (гл. IX, п. 16).
11. Твердое тело с осью, скользящей вдоль самой себя. На практике мы будем иметь такой случай, когда обе цапфы (цилиндрические) О, О' оеи а тела опираются на соответствующие (цилиндрические) подшипники. Если по указанной только что причине (предыдущий пункт) можно пренебречь трением, то реакции Ф и Ф' в точках О, О' твердого тела должны быть перпендикулярными к оси (при этом они могут действовать по всякому направлению, нормальному к оси, и иметь любую величину); поэтому проекция их результирующей силы на ось а и результирующий момент относительно этой оси будут равны нулю. Если существует равновесие, то и активные силы IP, которые в силу основных уравнений равновесия должны составлять вместе с реакциями систему, эквивалентную нулю, будут иметь проекцию результирующей на ось а и результирующий момент относительно этой оси равными нулю. Таким образом, должны удовлетворяться два уравнения:
