Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Понятие опорного многоугольника легко распространяется на общий случай, когда имеется бесконечно большое число точек опоры, причем їочви одоры могут составлять части линий или даже части 118
ГЛ. XIII. СТАТИКА. ТВёРДОГО ТЕЛА
плоскости. Необходимо только иметь в виду, что опорный многоугольник может быть ограничен частью прямолинейными отрезками, частью дугами кривых линий. Но всегда должно удовлетворяться условие, что каждая его вершина является опорой.
Каков бы ни был опорный многоугольник, во всякой точке P будет действовать некоторая реакция Ф, и если мы допустим идеальное предположение об отсутствии трения, то все эти реакции будут перпендикулярны к плоскости опоры, т. е. будут вертикальны и направлены вверх, так что в своей совокупности они составят систему параллельных и одинаково направленных сил. Какова бы ни была величина отдельных реакций, система их векторно эквивалентна их результирующей (гл. I, п. 56), приложенной в некоторой точке Q (центре реакций), которая является внут-р ренней (или, по меньшей мере,
?, р не внешней) относительно вся-/ Ч\ \3 кой замкнутой выпуклой ли-
/ \ Y' \ нии, содержащей все точки P
/ Rt° \ I \ (гл. X, п. 11), и, в частности,
4.__________^b і__________\ относительно опорного много-
Pj Pz Pі P2 угольника.
фиг_ 32. Если твердое тело нахо-
дится в равновесии,то результирующая реакций должна уравновешиваться системой активных сил, которые здесь сводятся к весам отдельных материальных точек тела 8; система весов отдельных материальных точек тела эквивалентна полному весу р, приложенному в центре тяжести Cr. Результирующая реакций в статических условиях должна быть прямо противоположна весу р, приложенному в центре тяжести Cr; поэтому заключаем, что вертикаль, проходящая через центр тяжести тела (линия действия р), должна проходить и через центр Q реакций, т. е. для равновесия тяжелого твердого тела на плоской горизонтальной опоре необходимо, чтобы проекция центра тяжести на эту плоскость была внутренней (или, по меньшей мере, не внешней) для опорного многоугольника.
15. Только что доказанное необходимое условие равновесия является также и достаточным.
Для доказательства рассмотрим сначала случай только трех точек опоры P1, P2, P3 и для определенности предположим, что они не лежат на одной прямой (фиг. 33), хотя рассуждение будет иметь силу, с надлежащими изменениями, также и в исключенном здесь случае.
Предположим, что проекция Q центра тяжести Cr твердого тела на плоскость опоры является внутренней (или, по крайней мере, не внешней) для треугольника P1P2Ps. Для того чтобы доказать, что в этом случае твердое тело находится в равновесии, покажем, § 4. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ОПИРАЮЩИХСЯ НА ДРУГИЕ ТЕЛА
119
что можно определить (и даже однозначно) три реакции, вертикальные и направленные вверх, Ф2, Ф2, Ф8, которые, будучи приложены в точках P1, P2, P3, в состоянии уравновесить вес твердого тела р, приложенный в G, или, что одно и то же, в Q.
Для этого выразим прежде всего, что результирующий момент веса р и трех реакций Ф* (i = 1, 2, 3) относительно каждой из сторон треугольника, например относительно Р?Р3, равен нулю. Так как моменты реакций Ф2, Ф3 относительно прямой P2P3 равны нулю, а реакция Ф! параллельна и направлена в сторону, противоположную ве-
Р,
/К
су р, то достаточно выразить, что равны по /|\
абсолютной величине моменты относительно / J \
P2P3 этих двух последних сил, т. е. / j^^L n^
ФА =рК Ic-LlJh. ^
pZ P3
где через Ii1, h[ обозначены расстояния точек
P1 и Q ot стороны P2P3 и через Ф,-ве- фИГ- зз_
личина реакции Ф^ Если обозначим через А
нлощадь треугольника P1P2Ps, а через A1, Д2, Д3 площади треугольников QP2P3, QPbPu QP1P2, определяемых точкой Q, то буде-v иметь
A1 __ Icl
после чего для величины Ф1 реакции Ф4 находим выражение
лч Ai
Ф1 обращается в нуль, если A1==O, т. е. если Q лежит на стороне P2P3.
Аналогично будем иметь
$2 = X^' Ф3 = X-P-
Эти три реакции действительно уравновешивают вес тела р, так как результирующая их прямо противоположна р (A1 -j-A2 -f- A3 = А), а, с другой стороны, достаточно принять за центр приведения одну из трех вершин треугольника, например P1, чтобы убедиться, что и результирующий момент силы р и реакций Ф4 также равен нулю (так как равны нулю три его некомпланарные составляющие: по двум сторонам P1P2 и P1P3 в силу условий, которые мы наложили на Фи Ф2, Ф3, и по вертикали, ввиду того что все силы вертикальны).
16. Если число опор больше трех, то условие, заключающееся в том, что проекция центра тяжести на опорную плоскость не 120
ГЛ. XIII. СТАТИКА. ТВёРДОГО ТЕЛА
лежит вне опорного многоугольника, тоже всегда обеспечивает равновесие. В этом можно убедиться, предположив, например, все реакции равными нулю, за исключением трех, и обращаясь к предыдущему случаю; достаточно выбрать, что всегда возможно, три соответствующие опоры таким образом, чтобы проекция центра тяжести не была внешней для построенного на них треугольника.
