Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
125
будет взять для Ф значение (положительное или нуль) — MJh для того, чтобы было удовлетворено условие равновесия (6).
Если, далее, окажется, что в единственной опоре P имеется трение, то для равновесия достаточно будет, чтобы нормальная составляющая реакции имела только что определенное значение; момент касательной реакции относительно оси а в любом случае равен нулю, поэтому касательная реакция будет оставаться неопределенной, однако при соблюдении условия, что полная реакция не выходит из внешней полости конуса трения.
Наконец, если имеется несколько опор с трением или без него, то при наличии условия (7) всегда можно будет бесконечным множеством способов выбрать систему реакций, результирующий момент которых относительно оси был бы равен Ma. Достаточно, например, предположить все реакции равными нулю, за исключением одной, которая определяется способом, указанным выше, в предположении, что имеется только одна опора. Равновесие оказывается поэтому действительно обеспеченным соотношением (7); во всех случаях, за исключением одного, рассмотренного выше (когда имеется только одна опора и притом абсолютно гладкая), мы встречаемся с неопределенностью реакций, которую нельзя устранить, если не обращаться к соображениям, выходящим за пределы статики твердых тел.
21. Из соотношения (7) следует, что равновесие твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость, может быть нарушено только такими активными силами, результирующий момент которых относительно этой оси (ориентированной так, как мы условились выше) положителен. Поэтому можно сказать, что заданное состояние равновесия будет тем далее от этого опасного случая, чем больше абсолютная величина | Ma | момента (самого по себе отрицательного) активных сил; естественно поэтому принять число I Ma I за меру устойчивости рассматриваемого состояния равновесия. Число |Ма\ определяет наибольшее значение, которого может достичь без нарушения равновесия момент относительно оси случайных сил, т. е. сил, не причисляемых заранее к активным силам.
Это число I Ma I называется моментом устойчивости равновесия твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость.
22. Рассуждения предыдущего пункта можно распространить на случай твердого тела, опорный многоугольник которого (прямолинейный или криволинейный, но во всяком случае выпуклый) на плоскости « окружен со всех сторон малыми выступами, так что тело не может скользить по плоскости, а может только поворачиваться вокруг любой из его сторон или вокруг любой из его каса- 126
гл. xiii. статика. твёрдого тела
тельных. Будем вообще обозначать через а те прямые, вокруг которых тело может опрокидываться. Что же касается вопроса о том, будет ли тело в действительности опрокидываться, если оно подвергается действию заданной системы активных сил, то здесь дело .будет обстоять так же, как и в случае твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость (пп. 19—21). Поэтому, если представим себе все прямые а направленными в ту сторону, по отношению к которой опрокидывание, возможное для твердого тела, окажется правым, то для равновесия потребуется, чтобы результирующий момент активных сил относительно всякой отдельно взятой прямой а был отрицательным (или равным нулю). Вследствие этого в статических условиях будет законно назвать моментом устойчивости рассматриваемого состояния равновесия наименьшее абсолютное значение этих результирующих (отрицательных) моментов активных сил относительно различных прямых а.
В частности (если иметь в виду конкретные задачи, которые находят здесь свое схематическое представление), оказывается интересным случай тяжелого твердого тела S, которое опирается на горизонтальную плоскость так, что центр тяжести его проектируется внутрь опорного многоугольника или на его контур. При этом предполагается, что на центр тяжести, помимо собственного веса тела, действует горизонтальная сила, которая стремится опрокинуть тело.
Чтобы выразить точно условие равновесия, заметим, что если мы будем выбирать принятым ранее способом стороны обращения отдельных прямых а, то вес тела S, приложенный в центре тяжести, который, по предположению, проектируется внутрь или на контур опорного многоугольника, будет левовращающим по отношению ко всем этим ориентированным прямым (или, в исключительном случае, будет пересекать одну из них); поэтому относительно каждой из прямых а вес будет иметь отрицательный (или равный нулю) момент, в то время как момент горизонтальной силы может быть положительным или отрицательным (или равным нулю), в зависимости от рассматриваемой прямой. Если обозначим через —Ba и Ta моменты веса и горизонтальной силы относительно любой прямой а, то для равновесия твердого тела будет необходимо и достаточно, чтобы для всех отдельных прямых удовлетворялось условие
Ma = Ta-PaK 0. (70
Если сила действует в какой-нибудь проходящей через центр вертикальной плоскости, то предыдущее условие можно выразить словами так: линия действия равнодействующей веса и горизонтальной силы должна пересекать плоскость опоры в точке, внутренней (или, по крайней мере, не внешней) для опорного многоугольника. 126
