Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
5. К двум точкам P и Q приложены две равные и прямо противоположные силы Фи —Ф. Обозначим через <р проекцию силы Ф на ось QP и равную ей проекцию силы — Ф на ось PQ, или величину обоих усилий, принимаемых за Положительные, если речь идет о растягивающих усилиях. Показать, что если Ы есть вариация расстояния, соответствующего произвольным элементарным перемещениям ЬР и bQ обеих точек, то сумма элементарных работ сил Фи — Ф будет равна уЫ (п. 3, в).
6. Стержень AB веса р может вращаться вокруг точки А в вертикальной плоскости. Другой стержень ВО сочленен с первым в конце В и может вращаться в той же самой вертикальной плоскости вокруг своего конца В. Оба стержня однородны. В С приложена горизонтальная сила величины F. Показать, что если <р и ^ — углы наклона обоих стержней к горизонтальной прямой в плоскости стержней, то при установившемся равновесии будем иметь
p + 2q , , q
trr 'й = ---і ts' Ф = —— .
Ч, f 2F , o ' 2 F
7. Пусть будут а и Ъ длины сторон параллелограмма, <р — один из внутренних углов, так что квадраты Iі, V2 диагоналей выражаются в виде
а2 + Ь2 ± 2ab cos <р.
В предположении, что речь идет о шарнирно-сочлененном параллелограмме, <р можно принять за лагранжеву координату.
Показать прежде всего, что при любом виртуальном перемещении системы имеем
Ibl + V W = 0.
Предположим далее, что шарнирно-сочлененный параллелограмм находится в равновесии, если к концам диагонали длины V приложены две прямо противоположные силы величиной F, стремящиеся сблизить их, в то время как две другие противоположные вершины (концы диагонали длины I) соединены гибкой и нерастяжимой нитыо. Показать (на основе п. 40 щ упражнения 5), что усилие Т, растягивающее нить, определяется равенством
1. яіражнйнйя
285
8. Шестиугольник ABCDhF, составленный из шести однородных и равных стержней, подвешен в точке А и симметрично расположен относительно вертикали, проходящей через эту точку. Он удерживается в равновесии двумя горизонтальными стержнями BF, CE ничтожного веса. Показать (п. 40 и упражнение 5), что первый стержень испытывает давление, в пять раз большее, чем давление, испытываемое вторым стержнем.
9. Многосвязная стержневая система находится в равновесии без приложения внешних сил. Поэтому имеются только внутренние усилия.
Показать, что если <р означает для какого-нибудь стержня величину (включая и знак) усилия, испытываемого им (упражнение 5), и I — длину стержня, то будем иметь 2 ч/1 = 0, где сумма распространяется на все стержни системы.
[Каждый узел системы надо рассматривать как свободную точку, находящуюся под действием усилий, происходящих от стержней, которые сходятся в этом узле, и представлять себе, что определенная таким образом система свободных точек испытывает гомотетичное расширение с произвольным центром.]
10. и однородных стержней длины I и веса р сочленены в точке А и находятся в равновесии, будучи расположены симметрично вокруг вертикали, проходящей через точку А, и опираясь нижними концами на сферическую поверхность с радиусом и с центром О, расположенным вертикально над точкой А. К узлу А подвешен груз веса q. Показать, что если а есть угол, образуемый каждым стержнем с вертикалью, то будем иметь соотношение
P (Зп2р2 + Anpq) cos2 а = (г2 — Щ (пр -f 2</)->. Pлава XVl
ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
§ 1. Нонятие об относительном равновесии
1. В предыдущих главах мы изучали условия равновесия различного вида материальных систем, относя их к неподвижной системе координат или к системе, рассматриваемой как неподвижная (в том смысле, который в механике приписывается этому названию). Рассмотрим более общий случай системы осей Oxys, находящейся в каком-нибудь заданном движении, и поставим себе задачу найти условия, которым надо подчинить прямо приложенные к материальной системе силы для того, чтобы эта материальная система, несмотря на действие сил, сохраняла неизменным положение относительно осей Oxys. Это и есть то, что мы будем называть относительным равновесием, приписывая, если может возникнуть неясность, название абсолютного равновесия тому равновесию, которое мы рассматривали до сих пор (и в котором оси Oxyг предполагаются неподвижными).
2. Начнем, как и при изучении абсолютного равновесия, с простого случая, в котором речь идет об одной материальной точке Р. Поскольку опа сохраняет свое положение неизменным относительно подвижной системы осей, ее относительная скорость Vr и, следовательно, относительное ускорение аг доллшы обращаться в нуль.
Пусть F есть результирующая всех действующих на P сил (включая возможную реакцию, если имеются связи). Речь идет об установлении того, каким условиям должна удовлетворять сила F для того, чтобы точка P оставалась в относительном равновесии.
Здесь достаточно будет кроме основного уравнения динамики
maa = F
(где, для большей ясности, через Cta обозначено абсолютное ускорение) принять во внимание теорему Кориолиса, выражаемую (гл. IY, п. 3) уравнением
аа = ar-{-at -j- Смс.
Если относительное равновесие существует, то (п. 1) будем иметь = а также «с = WX^V- 0, следовательно, аа = ах и s 1. понятий об относительном равновесии
