Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
Фиг. 79.
T=^tg-K
JSo
cos Ф
(6) (7)
15. Момент пары (JK1, JS9) вычисляется очень просто, если мы заменим эту пару Двумя парами, приложив в точке О два равных и противоположных вектора: вектор Щ, эквиполлент- § 4. сопротивление калению
299
ный JB1, и JBa, эквиполлентный JSa. Момент пары (JK1, JBa) можно представить тогда в виде разности двух моментов: момента пары (R1, R'J, которая всегда (см. фиг. 79) представляет собой движущую пару, и момента пары (JBa, JS1), являющейся, наоборот, всегда парой сопротивления. Общая длина каждого из векторов этих пар, согласно равенству (7), есть р/со&ф.
Так как точки приложения і и О обоих векторов первой пары находятся на расстоянии г друг от друга, и векторы наклонены под углом ф к вертикали OA, то очевидно плечо пары равно OA sin ф = г sin ф и, следовательно, соответствующий момент равен fr tgty.
Для пары сопротивления (Ri, JB1) аналогично имеем: расстояние между точками приложения есть р = ОС, плечо равно р sin <р, так как (п. 12,в) реакция JS2 наклонена к оси ОС под углом <р, и потому момент равен
таким образом все свелось к исследованию этого уравнения, которое содержит только одну неизвестную ф (угол наклона реакции к вертикали) и служит для определения ее. Сила тяги тотчас же получается на основании равенства (6).
16. Уравнение (8) при помощи очевидного преобразования можно свести к квадратному уравнению относительно tgty. Но сначала мы остановимся на качественном изучении этого уравнения. Предполагая, что г (значительно) больше р, как это обычно бывает в действительности мы увидим, прежде всего, что уравнение (8) допускает один и только один корень ф, заключенный [как это и должно быть на самом деле (п. 14)] в промежутке 0, я/2. Кроме того, из уравнения (8) можно вывести некоторые практически важные свойства этого корня (п. 19), на основании которых можно будет выбрать знак в выражении для корня квадратного уравнения относительно tg<j>.
Левая часть уравнения (8) есть некоторая функция
V
-—г P Sin Ф.
Момент пары (JS1, R2) равен поэтому
Приравнивая его hp, будем иметь
і і sin» , г tg Ф — р-f- = h;
0 т r cos ф
(8)
W (ф) = г tg ф — р
sin <р
cos Ф 800
гл. xvi. относительное равновесие
от аргумента Ф, конечная и непрерывная при ф, заключенном между О и те/2 (за исключением верхней границы). Ее производная
^ir — р sin <Р sin 4-}
всегда положительна, так как мы предположили г > р. Поэтому W (4») есть возрастающая функция.
При ф = 0 она приводится к —psin® и, следовательно, отрицательна. При ф, достаточно близком к тс/2, она, наоборот, положительна и сколь угодно велика; это сделается очевидным, если запишем ЧГ(ф) в виде
г sin ф — р sin f 4 COS ф
и заметим, что при стремлении ф к я/2 числитель стремится к положительному пределу
г — P sin ®,
в то время как знаменатель стремится к нулю.
Так как при изменении ф от нуля до я/2 функция возрастает от некоторого отрицательного значения до -{-оо, то она пройдет один и только один раз через всякое положительное значение и, в частности, через значение h, входящее в правую часть уравнения (8).
Уравнение (8) имеет поэтому один и только один корень между 0 и я/2.
17. Следует заметить, что этот корень будет меньше или больше угла <р, в зависимости от того, превосходит или не превосходит
W(<p) = (r —p)tg?
величину h. Действительно, так как 1F (ф) есть возрастающая функция от ф, то чтобы сделать Чг(ф) равной h, мы должны в первом случае [4?"(<р)>/»] приписать аргументу ф значение, меньшее <р, а во втором случае [W (®) < К] — значение, большее ®.
То обстоятельство, что корень ф уравнения (8) оказывается в зависимости от случая < или > угла <р, равносильно тому геометрическому факту (уже отмеченному в п. 13), что точка каса-, ния С оси с внутренней поверхностью ступицы оказывается смещенной назад или вперед (относительно направления движения).
Чтобы убедиться в этом, достаточно припомнить (п. 14 и 12), что 9 и ф представляют собой углы наклона R2 к нисходящей вертикали и к ОС в сторону движения. Отсюда следует, что разность ф — <р измеряет угол наклона ОС к нисходящей вертикали и будет положительной, если радиус ОС отклонен от вертикали, т. е. от OB, S сторону движения, и отрицательной — в противном Случае, § 4. сопротивление калению
301
Вот почему характер смещения (вперед или назад от точки В) точки С зависит от знака разности Ф — ? и находит свое выражение в неравенстве
(г — p)tg<o^h.
18. Для численных данных, представляющихся на практике, возможно как то, так и другое неравенство,
Действительно, можно считать: 50 см <Х 1 м; р < 5 см; 0,07 < tg 9 <0,15 (предполагается, что внутренняя поверхность ступицы и ось хорошо смазаны); наконец (гл. XIII, п. 27) h заключено между 10 мм и 75 мм, в зависимости от состояния дороги; заметим, что значения h, превосходящие 50 мм, относятся к дорогам сильно испорченным, незамощенным, грязным или покрытым гравием.
Наименьшее значение величины (г—p)tgf при этих числовых данных будет
