Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
гл. xvi. относительное равновесие
также и геометрическая сумма веса и реакции JS, что означает, что вес и реакция должны составлять третью пару (или, в частности, должны быть равны и прямо противоноложны).
Для того чтобы пойти далее, необходимо принять во внимание то обстоятельство, что реакция JK является как раз одной из тех сил, на поведение которых влияет состояние движения, так что на JK, в условиях движения, нельзя распространять правила, полученные из опытов над статическим трением (гл. IX). Опираясь на экспериментальный результат, который лучше и более строго будет объяснен в динамике, мы ограничимся здесь утверждением, что во время движения реакция в каждый момент действует по образующей внешней полости конуса трения (динамического) с вершиной в точке опоры, имеющего осью нормаль, а именно по той образующей, проекция которой на касательную к траектории направлена в сторону, противоположную стороне движения точки диска, совпадающей в рассматриваемый момент с точкой опоры.
Если мы исключим идеальный случай, когда трение равно нулю, то отсюда будет следовать, что точка опоры не должна совпадать с самой нижней точкой под-шинника. Действительно, так как в этом случае вертикаль совпадает с нормалью к поверхности подшипника, она не может быть образующей конуса трения, и потому невозможно, чтобы результирующая веса и реакции была равна нулю.
Следовательно, мы должны предположить, что точка соприкосновения P несколько смещена из самого нижнего положения. Легко видеть, что величина смещения измеряется углом динамического трения <р. Действительно, вертикаль PV (фиг. 77), проведенная через Р, должна быть образующей конуса трения, что
означает, что угол OPV равен углу Так как, далее, сила трения препятствует движению точки Р, то точка соприкосновения должна сместиться на угол ® в сторону, противоположную вращению.
Выразим теперь, что результирующий момент относительно точки О всех внешних сил, действующих на вал, равен нулю. Это векторное соотношение сводится к алгебраическому, так как линией действия всех моментов является ось вала, так что достаточно, чтобы обращался в нуль результирующий момент относительно этой оси. Обозначим через T1, Г2 величины моментов движущей пары и пары сопротивления; момент пары вес — реакция (ввиду того, что линия действия веса проходит через точку О, а линия і І. УСТАНОВЙВШЁЁОЯ ВРАЩЕНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ВАЛА
действия реакции есть вертикаль, проходящая через точку Р) по абсолютной величине равен
tg» f "f = гр Sm ® = гр ° — = гр
Vi+ig2T Yi+p'
его можно считать равным величине rpf (f—коэффициент динамического трения), если угол (р достаточно мал.
С другой стороны, он направлен в ту же сторону, что и момент Г2, потому что касательная составляющая реакции оказывает сопротивление движению, а нормальная реакция имеет момент, равный нулю, так как направлена в точку О. Поэтому абсолютная величина T1 момента движущей пары должна быть равна сумме абсолютных величин моментов двух других пар, т. е.
Гі = Г2 + Т, (5)
где можно считать у = rpf.
.Равенство (5) в сочетании с геометрическим фактом, что смещение точки опоры измеряется углом трения <р, составляет искомое условие относительного равновесия.
11. В реальном случае, в котором опорой являются два подшипника, мы можем представить себе вес р вала разложенным на две равные и вертикальные силы ри р2, приложенные к концам вала.
Если мы предположим, что другие внешние силы попрежнему приводятся к двум парам (движущей и сопротивления) с моментами Tj и Г2, имеющими линией действия ось вала, то для относительного равновесия, очевидно, будет достаточно:
1) чтобы сила P1 и реакция JS1 опоры P1 составляли пару;
2) аналогично, чтобы составляли пару сила р2 и реакция JS2 опоры P2;
3) чтобы обращался в нуль результирующий момент четырех пар (движущей; сопротивления; ри JS1; р2, JS2) относительно оси вращения.
Если допустить, что угол трения ср один и тот же для обоих подшипников, то первые два условия будут удовлетворены при равенстве углов смещения обеих опор P1 и P2.
Третье условие, если через Tf1 и f2 обозначим моменты (относительно оси вращения) двух пар ри JS1 и р2, R2, выразится арифметическим равенством
T1 = T2-H1+T2.
Как и в предыдущем пункте, мы будем иметь приближенно b~rfPu Ye = 296
ГЛ. Xvi. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
где т есть радиус вала. Отсюда следует, что
V1=T2-^rfp,
где р — полный вес вала.
Таким образом, также и для случая, который мы обычно имеем, мы снова находим то же самое условие, что и в предыдущем пункте.
§ 4. Сопротивление качению ])
12. Пусть г = OA— радиус колеса повозки (фиг. 78), р = ОВ — радиус отверстия ступицы; при этом предполагается, что в отверстие ступицы вставлена и опирается на нее цилиндрическая ось (общая для
® обоих спаренных колес), неизменно связанная с кузовом повозки (в отличие от железнодорожного вагона, у которого колеса неизменно связаны с осью).
Пусть 9 есть угол динамического трения _ между осью и ступицей (отверстие ступицы,
