Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 117

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 134 >> Следующая


Так как в ферме нет односторонних связей, то выражение (23) полной реакции, испытываемой узлом Pi, представится в виде

Ri = Sj1^Pfi, (30)

где скаляры представляют собой множители Лагранжа, а сумма Sj должна быть распространена только на те узлы Pj, которые соединены стержнями с Pi. Равенство (30) дает для интересующего нас случая разложение реакции, действующей на узел Pi, по различным стержням, которые в нем сходятся; слагаемое 2hjPjPilhj Даст реакцию, испытываемую узлом Pi со стороны стержня PiPj- В этой реакции скаляр Pij представляет собой проекцию этой реакции на ориентированное направление PiPj стержня; сам стержень PiPj испытывает равное и прямо противопололшое усилие со стороны узла Pi, стержень сжат, если р^ > 0, и растянут — в противном случае.

Остается определить скаляры рц, которых в совокупности будет столько же, сколько имеется стержней в системе, за исключением стержня PaP9, т. е. т —1 = 2 (те — 2).

Из общих рассужденцй п. 32 следует, что так как в рассматриваемом нами случае все связи двусторонние, то множители Лагранжа будут однозначно определены при единственном условии, что уравнения связей независимы между собой, т. е. что функциональная матрица левых частей этих уравнений, рассматриваемых как функции от координат точек системы, имеет ранг, равный числу самих уравнений. В нашем случае число уравнений равно т — 1 = = 2 (те— 2) [поскольку должно быть исключено равенство (29), соответствующее і = а, j=?]; в силу самого определения неизменяемой системы без лишних стержней, их левые части независимы (гл. XIY, п. 14) по отношению к 2 (те — 2) координатам различных узлов Pi (г < р). упражнения

283

Таким образом, мы нашли аналитическим путем, что значения усилий в неизменяемой ферме без лишних стержней подчиняются общему принципу виртуальных работ. На практике, конечно, более предпочтителен графический метод (гл. XIY, § 4). Но рассуждения, изложенные выше, имеют большую общность, так как применяются без исключения ко всевозможным неизменяемым фермам без лишних стержней, между тем как геометрические методы, пригодные даже для более обширных классов ферм, чем простые треугольные фермы, рассмотренные нами в предыдущей главе, все-таки подчинены, в отношении их приложимости, некоторым специальным ограничениям.

44. Равенства (30) дают усилия, относящиеся к любому стержню, путем полного определения всех реакций узлов Pi. Когда нас интересует усилие, испытываемое определенным, стержнем, надо обратиться к способу, указанному в пп. 40 и 41, который в настоящем случае состоит: а) в том, чтобы ввести вместо рассматриваемого стержня те два усилия, с которыми он действовал на соответствующие узлы; .в) в применении к системе, освобожденной таким образом от одной связи и тем самым превращенной из неизменяемой системы в систему с полными связями, принципа виртуальных работ на перемещении, которое стало для нее возможным вследствие выбрасывания этого стержня.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Стержневая система состоит из четырех однородных стержней, соединенных шарнирами P2, P j,P^, в то время как концы P1 и Pg прикреплены к двум неподвижным точкам, расположенным на одном и том же уровне. Два крайних стержня равны друг другу и весят каждый равны между собой также и промежуточные стержни, общий вес которых есть P1. При равновесии под действием собственного веса система располагается в вертикальной плоскости, симметрично относительно средней вертикали (содержащей шарнир P3).

Доказать, применяя, например, принцип Торричелли, что если через аъ а2 обозначены углы наклона к горизонтали P1Ps первых двух стержней, то в конфигурации равновесия должно иметь место соотношение

(p1 + 2pi)tga2=P2 tg «х-

2. Тело (материальная точка) P веса р опирается на абсолютно гладкую плоскость, наклоненную под углом а к горизонту, и удерживается нитью, проходящей по жолобу блока и несущей на своем конце груз q. Блок находится выше наклонной плоскости и расположен в вертикальной плоскости, пересекающей первую по линии наибольшего наклона, проходящей через Р.

Вертикаль, проходящая через блок, пересекает линию наибольшего наклона на расстоянии s от Р; отрезок вертикали, заключенный между блоком и этим пересечением, есть h. Показать, что для равновесия требуется, чтобы противовес q заключался между р и касательной составляющей р и чтобы существовало соотношение

(P2 — <f) № sin2 а 284 ГЛ- xv. принцип виртуальных работ л аналитическая статика

3. Гибкая и нерастяжимая нить ничтожной массы может скользить вдоль параболического профиля с вертикальной осью (вогнутость обращена вниз). Концы нити находятся под действием двух грузов весом q1 и q2. Показать, что если и у2 обозначают ординаты концов нити и a? = 2ру есть уравнение параболы (ось у совпадает с вертикалью, проходящей через вершину), то в положении равновесия будем иметь

2 2 2 2

gl — Ъ _ __

P ~ Zy1 2 ?/2'

4. Шесть одинаковых стеряшей, каясдый веса р, сочлененных друг о другом, находятся в вертикальной плоскости. Один из них AB закреплен в горизонтальном положении; другие расположены симметрично относительно вертикали, проходящей через середину стержня AB. Показать, что шестиугольник будет находиться в равновесии, если к середине M стороны, противоположной AB, приложить силу, равную Ър и направленную по вертикали вверх.
Предыдущая << 1 .. 111 112 113 114 115 116 < 117 > 118 119 120 121 122 123 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed