Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Замечательные частные случаи
б. Поступательное движение. Пусть система осей Oxy г находится в каком угодно поступательном движении. Ускорение переносного Движения ах в любой момент времени одно и то же для какой угодно точки P (гл. III, п. 4) и' равно ускорению а0 начала О. То же самое можно сказать и о силе инерции переносного движения X = — та0.
Очень простой пример, иллюстрирующий этот случай, представляет собой равновесие по отношению к свободно падающему телу, в предположении, что оно брошено или просто отпущено из состояния покоя таким образом, что движется далее чисто поступательно.
Обозначив через g ускорение силы тяжести (но величине и направлению), будем иметь а0 = д, так что переносная сила х = ~тд уравновеЩивает вес.
Если мы предположим, например, что человек несет на плечах груз и прыгает вниз, то за время падения мускульное усилие, поддерживающее груз, сводится к нулю. То же самое можно сказать и о времени опускания, если прыжок был сделан вверх- Противоположное ощущение при прыжке вверх следует приписать предварительному усилию, необходимому для того, чтобы сделать такой прыжок.
Если, далее, поступательное движение осей Oxys будет в то же время прямолинейным и равномерным, то ускорение переносного движения, а вместе с ним и сила х будут равны нулю.
Прямолинейное и равномерное поступательное движение не оказывает никакого влияния на условия равновесия: они остаются одинаковыми с условиями, имеющими место дЛя абсолютного равновесия.290
гл. xvi. относительное равновесие
6. Вращения и поступательно-вращательные равномерные движения. Центробежная сила. Пусть система осей находится в равномерном вращательном движении. Обозначим через w угловую скорость и через Q проекцию на ось вращения произвольно взятой точки P (фиг. 75); мы знаем (гл. III, п. 8), что
аг
следовательно, имеем
X = WiViiQP.
(2)
Сила инерции переносного движения в том случае, когда переносное движение есть равномерное вращение, называется центробежной силой.
Центробежная сила зависит, как мы видим, от положения точки P относительно оси вращения; она направлена радиально от оси (т. е.
по продолжению QP) и величина ее пропорциональна массе точки, расстоянию ее от оси и квадрату угловой скорости. N. Если ось вращения мы примем за ось г
и через х, у, Z обозначим координаты точки Р, то проекциями вектора х, на основании равенства (2), будут
'Lx = «Л, Xy = ты%У> Xs = O'
Ni т. е. они совпадают с производными (по ко-
ординатам х, у, Z точки Р) от функции
Q
IO
О
-KP
і
У
CCj
Фиг. 75.
т ? (ж2 + у2) = ~ mvfiPQ*.
Следовательно, центробежная сила имеет характер консервативной силы; ее единичный потенциал (т. е. потенциал, отнесенный к единице массы) равен
Wpq2,
т. е. пропорционален квадрату расстояния от оси вращения и квадрату угловой скорости.
7. Рассмотрим, например, тяжелую точку Р, вынужденную оставаться n?t поверхности о, равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси, и будем искать, при каких условиях точка может оставаться в равновесии на поверхности, предполагаемой лишенной трения.
Согласно общему правилу п. 8, центробежную силу х мы должны будем рассматривать наряду с весом р, как силу, прямо приложенную к Р; таким образом мы придем (гл. X, п. 8) к заключению,§ а. замечательные частные случаи
291
что результирующая р -р X направлена по нормали к поверхности о. Если речь идет о точке, не вынужденной обязательно находиться на о, а подчиненной только односторонней связи, то необходимо добавить качественное ограничение, чтобы сила р -f X была обращена к области, не совместимой со связью (т. е. внутрь тела, поверхность которого представляет собой опору).
Поэтому положениями равновесия будут только те положення, в которых нормаль к поверхности о параллельна силе 2> + Х> с Д°~ бавлением указанного условия для стороны, если связь не является двусторонней.
Далее, заметим прежде всего, что в точках оси вращения будем иметь X— 0» так чт0 все будет обстоять так, как в случае абсолютного равновесия; если поэтому наша поверхность пересекает ось (по предположению, вертикальную) в некоторой точке, то равновесие в этой точке может существовать только при условии, что соответствующая касательная " чоскость горизонтальна.
Во всех остальных случаях центробежная ^^
сила X = WiW2QP будет представлена горизон- !
тальным, не равным нулю вектором. P \ !
С другой стороны, обе силы р и х> а еле- I \|
довательно, и сила 2> + Х будут находиться *—^
в одной и той же вертикальной плоскости, Фиг. 76.
определяемой осью вращения и положением равновесия точки Р, об определении которого идет речь, так что линия действия р -j— X, т- е. нормаль к поверхности а (фиг. 76), в точке P должна пересекать ось вращения в некоторой точке N, необходимо расположенной выше точки P (для того, чтобы х была направлена радиально во вне).
Условие, чтобы нормаль встречала ось, выполняется само собой, когда речь идет о поверхности вращения (имеющей своей осью ось вращения). Далее, обозначив через 6 угол наклона нормали к вертикали, мы должны иметь