Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Леви-чивита Т. -> "Курс теоретической механики Том 1" -> 121

Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.

Леви-чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики Том 1 — Москва, 1952. — 326 c.
Скачать (прямая ссылка): kursteoriticheskoyfiz1952.djvu
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 134 >> Следующая


или, обращаясь к прямоугольному треугольнику PQN,

Gtf(30

Отсюда следует, что положения относительного равновесия зависят от геометрической формы поверхности и от угловой »корости, но не от массы точки.

В случае поверхности вращения, отрезок QN представляет собой очевидно субнормаль меридианной кривой (относящейся к точке Р), 292

гл. xvi. относительное равновесие

так что исследование положений равновесия (не расположенных на оси) приводит тогда к отысканию тех точек меридиана, для которых субнормаль принимает заданное значение gjо>2.

8. В случае сферы субнормаль QN, если R означает радиус, будет равна R cos 9, так что равенство (8') принимает вид

cos 9 =JL. (4)

Это уравнение относительно 9 допускает действительные (т. е. вещественные) решения и однозначно определяет (острый) угол, при условии д/w2R < 1, или, что одно и то же,

Поэтому необходимо, чтобы угловая скорость, с которой вращается сфера, превосходила известный предел для того, чтобы тяжелая точка могла находиться на ней в относительном равновесии в положениях, отличных от полюсов. Если этот предел превзойден, то геометрическим местом возможных положений равновесия будет горизонтальная параллель нижней полусферы, дополнение широты которой определяется из уравнения (4).

Чем быстрее вращение сферы, т. е. чем более значительной является угловая скорость о>, тем меньше будет cos 9; поэтому горизонтальная параллель относительного равновесия должна перемещаться от нижнего полюса к экватору и стремиться к экватору асимптотически при безграничном возрастании о>.

9. Рассмотрим, наконец, случай равномерного поступательно-вращательного движения системы осей Oxys.

Припоминая, что в сложном движении, составленном из двух или большего числа движений, ускорение равно сумме ускорений, относящихся к составляющим движениям, мы можем сказать, что прямолинейное и равномерное поступательное движение (наложенное на какое-нибудь другое движение твердого тела) не изменяет его переносного ускорения. Таким образом, при равномерном поступательно-вращательном движении все происходит так, как и в случае простого равномерного вращения, и, следовательно, мы снова приходим к центробежной силе.

§ 3. Установившееся вращение горизонтального вала. Смещение точек опоры

10. Рассмотрим (цилиндрический) горизонтальный вал, опирающийся двумя своими концами на подшипники, каждый из которых состоит из цилиндрической впадины немного большего, чем § s. установившееся вращение горизонтального вала

293

у вала, диаметра, и предположим, что вал вращается равномерно вокруг собственной оси.

Мы покажем сейчас, что в условиях действия сил, которые часто наблюдаются на практике (и которые немного позже будут точно определены), вал при наличии трения опирается на подшипники не в самых нижних точках этих подшипников, как это могло бы казаться с первого взгляда и как это очевидно происходит при равновесии.

Разберем сначала фиктивный случай, рассматривая явление в вертикальном плоском сечении. В этом случае мы будем иметь твердый круг (круглый диск) с радиусом г, равномерно вращающийся вокруг собственного центра О, опираясь точкой P (см. фиг. 77 на стр. 294) на неподвижную окружность (след подшипника). Предположим, что внешние, действительно приложенные силы (все расположенные в названной плоскости) приводятся к следующим двум парам и двум силам:

1) движущая пара, т. е. пара с моментом T1, параллельным оси вращения (и перпендикулярным к плоскости круга), сторона вращения которого совпадает со стороной вращения вала;

2) пара сопротивления, т. е. пара с момента Г2, всегда параллельным оси вращения и направленным в противоположную сторону;

3) весь р (направленный по вертикали вниз);

4) реакция JS точки опоры P вала на подшипник.

Предположим еще, что вал, а следовательно, и диск, который

мы рассматриваем вместо вала, однородны. Центр тяжести совпадает тогда с центром О диска.

Выясним теперь, каким образом вал может находиться в (равномерном) установившемся вращении вокруг собственной оси. Очевидно, достаточно будет выразить, что по отношению к системе осей, неизменно связанных с валом и, следовательно, равномерно вращающихся вместе с ним, имеет место относительное равновесие самого вала под действием только что перечисленных сил.

Так как речь идет о твердом теле, то необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись основные уравнения; при этом подразумевается, что, согласно ранее изложенному правилу, необходимо принять во внимание также и центробежные силы отдельных точек тела. В настоящем случае при заданной однородности вала центробежной силе, возникающей в любом элементе А, соответствует равная и прямо противоположная центробежная сила, относящаяся к элементу А', симметричному А относительно О.

Отсюда следует, что совокупность центробежных сил ничего не вносит в основные уравнения, и поэтому от них можно -отвлечься.

Выразим теперь, что результирующая внешних сил обращается в нуль. Так как результирующая каждой из пар (движущей пары и пары сопротивления) равна нулю, то должна быть равна нулю 294
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 134 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed