Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
геометрической акустики, которое является одним из случаев правила
постоянства потока энергии. Однако важно отметить, что постепенности
изменений поперечного сечения и состава (т. е. А о, р0, с и,
следовательно, У = Л0/(р0с)) недостаточно; эти изменения еще должны быть
ZAadnuMu в том смысле, что производная У' тоже меняется постепенно. С
другой стороны, любая функция х, отличная от У-1/2, входящая в качестве
множителя в (91), породила бы некоторый член с / в (107) и поэтому,
вообще говоря, больший порядок ошибки.
о
о
(108)
160
2. Одномерные волны в жидкостях
Всякий раз, когда ре задано согласно (91), уравнение (105) может быть
решено для J точно, что дает
X
J=[Y(x)/Y(0)]~l/2[Y(x)f (f- { c-'daj) +
О
х
+ ±cY'(x)fl(t- \с~Ых)], (109)
о
где dfjdt = / (t). Поправка к трубому приближению J = Ype, включающая /ь
может быть, вообще говоря, существенной, так как ее относительный порядок
больше, чем теоретическая погрешность (108). Она фактически дает
зависящую от частоты мнимую часть локальной проводимости, так как когда /
(t) пропорционально eiat, отношение J!pe становится равным
Y (х) -i [cY' (*)/2со]. (110)
Однако, как показывает уравнение (66), эта мнимая часть локальной
эффективной проводимости не влияет на постоянство потока энергии.
Итак, при условиях, обеспечивающих высокую точность (91), к которым
относится постепенность изменения Y', поток волновой энергии передается с
хорошей точностью (что требуется, скажем, для рупора громкоговорителя).
Напротив, разрыв производной Y' (х) означает разрыв эффективной
проводимости, что допускает отражение сигнала, которое можно рассчитать
по формуле (47) из теории сочленений.
В другом предельном случае, когда изменения поперечного сечения и состава
компактны, а соответствующие градиенты очень велики по сравнению с со/с,
производные по времени в левых частях уравнений (104) и (105) становятся
пренебрежимо малыми. Это подтверждает предположение, что пространственные
изменения как избыточного давления ре, так и объемного расхода J
невелики. Относительная ошибка, возникающая, если взять ре не зависящим
от х на длине I, может быть оценена из (106) как, самое большое, величина
порядка
со2/2 max (c-1Y)/min (cY), (111)
которая близка к (со 1/с)г - квадрату коэффициента компактности, за
исключением областей, подобных сужениям (разд. 2.5), с большим отношением
максимальной и минимальной площадей поперечных сечений.
Промежуточное поведение, когда со Не не мало и не велико, может быть
проиллюстрировано точным решением (106) для специальных распределений с
(х) и Y (х), дополняющим анало-
2.6. Линейная теория распространения волн
161
гичное рассмотрение специальных случаев в разд. 1.11. Рупор
громкоговорителя экспоненциального типа удовлетворяет условиям
с = const, У = Y 1еах (112)
и применяется, чтобы достичь изменения площади поперечного сечения
настолько быстро, насколько это возможно без нарушения условия
постоянства потока энергии, состоящего в малости (108). Для такого рупора
уравнение (106) превращается в уравнение
d2peldt2 = с2 (д2ре/дх2 + a dpjdx). (ИЗ)
Его решения, пропорциональные eia>t, легко устанавливаются путем решения
обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и
независимой переменной х. Это приводит к выражению
Ре - Pi ехР - i (со2с~2 - -|-а2 - у ахJ (114)
для волны, распространяющейся в направлении возрастания х, в то время как
уравнение (105) позволяет найти соответствующее решение для /, что дает
Лре = Y (х) [(1 - с2а2/4а2)1/2 - i (са/(2со))]. (115)
Заметим, что характер этих решений меняется, когда со < < (1/2) ас и
квадратный корень становится мнимым.
Для высоких частот решение (114) отличается от решения (91),
пропорционального У-1/2 exp [ico (t - х/с)], как раз на ожидаемую в силу
формулы (108) малую величину порядка с2а2/со2. Заметим, однако, что для
этого рупора амплитуда вообще не проявляет отклонения от
пропорциональности У-1/2, если только
со > ас!2, т.е. а < 2со/с = 4п/Х. (116)
Вернее, отклонение от (91) состоит в небольшом увеличении скорости
движения гребня волны от с до с (1 - с2ос2/(4со2))-1/2; мы не будем
задерживаться здесь на следствиях из этого факта, хотя и вернемся к нему
в гл. 3. Более непосредственное значение имеет изменение эффективной
проводимости (115): ее мнимая часть в точности согласуется со значением
(110), даваемым общей теорией, но представляет интерес то, что происходит
также менее существенное уменьшение действительной части проводимости.
Поэтому рупор будет эффективен, только если условия (116) удовлетворены с
существенным запасом; предельное значение со = (1/2) ас фактически
является "пороговой частотой", при которой действительная часть
эффективной про-
11-01100
162
2. Одномерные волны в жидкостях
водимости падает до нуля, в результате чего, как следует из (66), рупор
перестает передавать какую-либо энергию.
Другой предельный случай - это когда короткий участок трубы с
