Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
к специальной литературе. Первый из них таков: каким должен быть метод
анализа, когда толщина пограничного слоя (126), значения которой показаны
на рис. 26 для воды, крови и воздуха (v приближенно равно соответственно
1, 4 и 15 мм2с-1), сравнима с размером поперечного сечения. Один из
эффективных при этих обстоятельствах методов пригоден для круглых
поперечных сечений, и он успешно применялся к пульсации крови в малых
артериях.
Более радикальные изменения подхода необходимы, если масштаб движений
таков, что преобладает турбулентное трение. Это применимо, например, к
приливным движениям: хотя вязкий пограничный слой, рассчитанный на
основании полусуточной периодичности приливных движений, будет, как
показывает рис. 26, достаточно тонким (около 0,5 м), в движениях
172
2. Одномерные волны в жидкостях
Рис. 26. Зависимость толщины пограничных слоев (126) для воды, крови и
воздуха (с кинематической вязкостью соответственно 1, 4 и 15 мм2-с-1) от
частоты ш/(2я), в герцах.
при таких больших числах Рейнольдса обнаружена гораздо более сильная
диффузия за счет турбулентности. Для приближенной оценки ее влияния на
распространение волн часто достаточно использовать, как показано выше,
знание (в данном случае полученное экспериментально) дефицита объемного
расхода турбулентного пограничного слоя в зависимости от давления и
частоты.
2.8. Нелинейная теория плоских волн
Различные аспекты линейной теории одномерных волн в жидкости были весьма
подробно изучены в первой половине гл. 2 после изложенного в гл. 1
введения в линейную теорию звуковых волн в трехмерном пространстве.
Вторая половина гл. 2 посвящена нелинейным эффектам, которые до сих пор
полностью игнорировались; теперь же постараемся проанализировать, что
произойдет, если амплитуды волн не настолько малы, чтобы их квадратами и
произведениями можно было пренебречь. Полученная информация полезна хотя
бы просто для того, чтобы установить, при каких обстоятельствах
нелинейными членами действительно можно пренебречь. К тому же она
представляет и более широкий интерес, так как в результате обнаруживаются
любопытные и немаловажные явления,
2.8, Нелинейная теория плоских волн
173
качественно отличные от всего, что можно объяснить в рамках линейной
теории.
Однако подобное расширение области исследований с целью охвата
дополнительных сложностей нелинейных явлений должно с самого начала
сопровождаться жесткими ограничениями в других отношениях. В разделах
2.8-2.11 мы сосредоточим внимание на плоских звуковых волнах, хотя укажем
в нескольких местах, что соответствующие результаты применимы также к
продольным волнам общего вида в однородных трубах или каналах (если
пренебречь трением), и в разд. 2.12 непосредственно возвратимся к случаю
длинных волн в однородном открытом канале. Отбрасывая во всех этих пяти
разделах любые усложнения, вызванные неоднородностью физических
характеристик жидкости или поперечного сечения, ослаблением волны или
влиянием эффектов трехмерности, мы сможем сфокусировать внимание
непосредственно на характерных особенностях, привносимых нелинейными
членами уравнений движения даже в те очень простые свойства плоских
звуковых волн, которые уже полностью изучены с помощью линейной теории в
разд. 1.1.
Блестящее математическое открытие, сделанное Риманом - одним из
крупнейших математиков середины XIX столетия - заложило основу всей
последующей работы по нелинейной теории плоских звуковых волн. Это
открытие, равносильное преобразованию уравнений движения к форме,
замечательно легко поддающейся изучению для волн любой амплитуды, привело
в свое время к прекрасному уровню понимания предмета.
С другой стороны, сверкающее великолепие математической техники,
использованной для проведения этого исходного преобразования, в течение
долгого времени производило гипнотизирующее воздействие на акустиков. Это
привело к некоторому застою в нелинейной теории звука, связанному с
всеобщим убеждением, что весь успех в понимании предмета зависел от
первоначального математически блестящего преобразования. В течение многих
десятилетий это препятствовало обобщению результатов на любые другие
условия распространения волн, и в том числе на важный случай одномерного
распространения в трубах или каналах с постепенно меняющимися физическими
характеристиками жидкости и поперечным сечением, потому что в этих
случаях невозможно найти преобразование с подобными свойствами.
В этом разделе, чтобы избежать такого гипноза, предпошлем описанию самого
математического преобразования Ри-манч цепь простых физических
соображений, приводящую :в' точности к тому же результату. Эти
соображения, возможно,
174
2. Одномерные волны в жидкостях
смогут дать более ясное физическое понимание смысла теории Римана и
следствий из нее и заложить прочный фундамент для последующего изложения
в этой книге современных достижений нелинейной волновой теории, начиная с
описания в разд.
