Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
умноженное на (89), и так как любое дальнейшее отражение отраженной
энергии может только увеличить это отношение.
Такую "лестницу" однородных участков трубы можно рассматривать как
аппроксимацию, все более и более близкую к реальному непрерывному
изменению значений In Y, когда п оо; при этом отношение (90) стремится к
1. Исходя из этого предела, мы заключаем, что поток энергии от Р
передается с пренебрежимо малым отражением вдоль всего пути до Q. В
случае трубы с постепенным изменением свойств общего вида мы сделаем
подобное заключение о совершенной передаче потока волновой энергии для
каждого ее участка с монотонным изменением Y и можем затем объединить
полученные результаты, чтобы применить его к трубе в целом.
2.6. Линейная теория распространения волн
155
Эти грубые эвристические рассуждения приводят наконец к картине, согласно
которой волна бежит от Р к Q (скажем, в положительном направлении х) со
скоростью с, меняющейся постепенно по х, но с постоянным потоком энергии,
т. е. с постоянным Уpi - произведением проводимости на квадрат
избыточного давления. Такая волна будет удовлетворять уравнению
X
P,= [Y(x)lY(0)ri/Zf(t- \ c-*dx), (91)
о
х
где / (t) - волновой профиль при х = 0 и | с-1 dx - время
о
прохождения волны от 0 до х. Уравнение (91) обобщает уравнение (11),
полученное для трубы или канала с однородными свойствами. Соответствующее
выражение для волны, бегущей в отрицательном направлении х, будет
X
Pe=[Y(x)/Y(0)rl/2g(t+ (92)
о
В обоих случаях объемный расход в направлении распространения будет равен
У (х) ре.
Мы временно отложим более тонкие доводы в пользу высокой точности
уравнения (91) для случаев, когда свойства меняются достаточно постепенно
(смысл этого условия нуждается в уточнении), а пока что опишем следствия
из него. Для длинных волн в заполненных водой каналах из (91) получим,
что высота свободной поверхности pjpg изменяется как У-1/2, где для
поперечного сечения ширины Ъ и средней глубины h, как и в (58),
у = bhl/2/pg4*. (93)
Таким образом, при распространении волны вдоль канала с постепенным
изменением Ъ и h
подъем уровня воды пропорционален (94)
Этот результат известен более столетия как закон Грина.
Другой особый случай простого правила (91) - это один из принципов
геометрической акустики: изменение амплитуды вдоль трубки лучей с
постепенно меняющимся поперечным сечением определять исходя из
постоянства потока энергии. Например, изменение амплитуды звука,
излучаемого сферой достаточно большого радиуса а0 в однородную
невозмущенную жидкость, как было установлено в разд. 1.11, содержит мно-
156
2. Одномерные волны в жидкостях
житель а0/г, что объясняется постоянством потока энергии вдоль трубки
лучей, распределенного по площади поперечного сечения, увеличивающейся
как г2. Для других лучей (связанных, например, с другой формой тела)
поток энергии на расстоянии х вдоль трубки лучей будет распределен по
площади А (х) с другим законом изменения, что приведет к изменению ре,
пропорциональному
[А (;г)!А (О)]-1/2,
в соответствии с (91) для однородной невозмущенной жидкости.
Если свойства жидкости постепенно изменяются, то лучи снова могут
оказаться другими; например, в гл. 4 будет показано, что изменения
волновой скорости с вызывают рефракцию (преломление) лучей, так же как и
в геометрической оптике, в сущности потому, что они изменяют условие
стационарности фазы. С другой стороны, поток энергии вдоль трубки лучей,
а именно произведение площади ее поперечного сечения А на акустическую
интенсивность / = ptlp0c, сохраняется постоянным тогда и только тогда,
когда ре изменяется как (^4/р0с)-1/2 = у-1/2, опять как в (91). Эти
соображения усиливают важность (91) как подходящего правила для
определения распределения амплитуд во всех задачах геометрической
акустики, как только лучевые трубки найдены.
В сердечно-сосудистой системе уравнение (91) применимо к распространению
пульсовых волн по артериям, площадь поперечного сечения А и растяжимость
D которых постепенно меняются. Вдоль аорты, например, как А, так и D
постепенно уменьшаются с увеличением расстояния от сердца. Отсюда
следует, что Y = А/р0с, принимающее, согласно уравнению (31), форму A
(D/р0)1/2, также уменьшается, и, значит, амплитуда волны (91) возрастет,
в данном случае пропорционально A ~1/2Z)-1/4. Такое медленное увеличение
амплитуды флуктуации давления вдоль аорты в действительности наблюдается
с помощью катетера (тонкая трубка, присоединенная к датчику давления,
введенная через периферийную артерию и продвинутая на известное
расстояние по аорте).
Во всех разветвленных системах уравнение (61) для эффективной
проводимости в А (где х = -I) трубы АВ, в котором учтено отражение от
разветвления В (где х = 0), может быть легко обобщено на случаи, когда
свойства трубы постепенно меняются вдоль нее. В сущности это связано с
тем, что один и тот же множитель [Y (x)/Y (О)]-1'12 входит в формулу для
прямой волны (91) и для отраженной волны (92), сокращаясь, следовательно,
