Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
то время как мнимая часть представляет тормозящее действие трения на
стенке.
С другой стороны, продольные волны со сдвиговыми распределениями скорости
по-прежнему удовлетворяют линеаризованному уравнению неразрывности,
взятому в форме (104)
dpjdt = -cY*1 dJIdx, (135)
хотя его нельзя больше вывести исходя из уравнения (4), так как и
меняется по поперечному сечению. Однако соображение,, поясняющее, почему
ре меняется по поперечному сечению пренебрежимо мало (уравнение (1)),
остается справедливым. Кроме того, относительная скорость изменения
объема жидкого элемента из-за пульсации поперечного сечения А и
зависимости местного объемного потока J от сечения может быть записана
как
Л-1 (dA/dt + дЛдх) (136)
и приравнена относительному изменению плотности, взятому со знаком минус
и усредненному по элементу. Применяя черту для обозначения такого
усреднения по данному поперечному сечению, эту последнюю величину можно
записать как
- р-1 (dpldt + и dp/dx) = -К dpjdt, (137)
где уравнения (99) и (100) были использованы для каждой частицы жидкости
отдельно. Уравнения (136) и (137) вместе с (101) теперь дают в
линеаризованной форме
(К + D) dpjdt + A;1 dJ/dx = 0, (138)
что с учетом (98) дает (135), как и прежде.
При условиях, изученных в разд. 2.6, когда поперечное сечение и состав
меняются постепенно (если вообще меняются), было найдено, что уравнения
(104) и (105) имеют приближенное решение (91) для ре. Это позволяет легко
получить решения Уравнений (134) и (135), так как они имеют в точности ту
же
170
2. Одномерные волны в жидкостях
форму, что (104) и (105), но с заменой с и У соответственно на € [1 -
(v/tfffl))1/* (s/A)]1/2 и У [1 - Mice))1/2 (s/A)l1/2- (139)
Такая замена превращает сУ в коэффициент перед dpjdx в правой части
(134), но величина сУ-1 сохраняется неизменной.
Наиболее важное следствие этих изменений, вызванных введением множителей,
предполагаемых лишь слабо отличающимися от 1, это изменение с-1, так как
оно производится под знаком экспоненты в (91) при / (t) = ехр (icot). В
двучленном приближении влияние вязкого пограничного слоя (139) ¦сводится
к замене с'1 на
с-l [l-fi(v/(ico))1/21 (sM0)] =
= с-1 [l +i (v/(2co))1/2 (s/A)] -yic-1 (V/ (2co))1/2 (s/A), (140)
тде изменение действительной части означает незначительное уменьшение
скорости волны из-за увеличения эффективной инерции, в то время как
наличие мнимой части вс-1 описывает •ослабление волны из-за
сопротивления, вызванного трением.
Например, в однородной трубе или канале уравнение (140) означает, что
бегущая волна имеет вид
pe = Pi ехр jicof - jo)TC-i[l -\-j (v/ (2cd))1/2j(s/A)] -
шс-i (v/ (2cd))1/2' (s/A)} , (141)
а связанный с ней средний поток энергии равен
\ Yр\ ехр { - axe-1 (v/ (2и))1/2 (s/A)} (142)
Отметим, что это экспоненциальное затухание потока энергии ¦согласуется с
уравнением (132) для скорости диссипации энергии на единицу длины трубы,
которая при приближенной замене dpjdx на (-ico/c) ре становится равной
{ sp-icoc-21 ре р (V/ (2со))1/2 = 1 (v/(2co))1/2 (s/A) (143)
при х = 0, что в точности совпадает со скоростью уменьшения (142) на
единицу длины трубы.
Между прочим, из уравнения (143) следует, что относительная потеря
энергии на odnoii dAune волны приближенно равна -отношению толщины
пограничного слоя (126) к размеру сечения A/s. Напротив, скорость
диссипации энергии при отсутствии твердых границ, рассмотренная в разд.
1.13, содержала
2.7. Ослабление волны ва счет трения
171
вклад за счет вязкости, пренебрежимо малый по сравнению с выше
приведенным значением (143), потому что продольные волны в трубах или
каналах с твердыми стенками подвержены вязкой диссипации, связанной с
изменениями скорости по упомянутой толщине пограничного слоя, а не по
длине волны.
Все результаты разд. 2.4-2.6 для разветвленных и резонирующих систем
можно сразу обобщить, учтя ослабление волны за счет трения, если во всех
формулах сделать простую замену с'1 на величину (140). Тогда, согласно
уравнению (96), со?/сав имеет отрицательную мнимую часть, которая
видоизменяет заключения, выводимые из основной формулы для разветвлений
(97). В сущности это связанное с трением демпфирующее воздействие, как
можно было ожидать, делает все резонансные пики конечными, ограничивая
максимально возможную степень приближения комплексного числа аИсАв к
полюсу
tg (со 1/сАВ), например к л.
Подстановки (139) заставляют дополнительно сделать небольшие изменения
значений проводимостей в правой части (97). Эти изменения включают, в
двучленном приближении, замену каждого Y на
У [l-| (v/M)1/2 (*/4,)]. (144)
Влияние этой поправки часто пренебрежимо мало, однако она может нарушить
хорошую согласованность проводимостей.
Сделанные выше замечания о том, как линейную теорию одномерных волн в
жидкости следует изменить, чтобы принять во внимание вызванное трением
ослабление волны, достаточно просто дополнить в большинстве случаев, но
два вопроса, совершенно не затронутые здесь, могут потребовать обращения
