Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
экспоненциальным увеличением площади сечения и с большим са/со образует
компактное сочленение', тогда одно из двух возможных действительных
значений - i (со2<г2 - - (1/4) а2)1/2ж в (114) становится близким к
+(1/2) ах, что соответствует изменениям в сочленении, при которых ре
практически не зависит от х, в то время как другое значение указанной
величины близко к -(1/2) ах, что соответствует изменениям, при которых J
практически не зависит от х. Таким образом, этот пример
"экспоненциального" рупора иллюстрирует низкочастотное поведение,
характерное для компактных сочленений, а также демонстрирует на частотах
выше пороговой режим с постоянным потоком энергии, который в основном и
изучался в этом разделе.
2.7. Ослабление волны за счет трения
Подобно введению в линейную теорию звука (гл. 1), настоящее введение в
линейную теорию одномерных волн в жидкости заканчивается обсуждением
диссипации волновой энергии и ее последствий; к ним относятся ослабление
волны (постепенное экспоненциальное уменьшение потока энергии бегущей
волны) и некоторые связанные с ним явления в разветвленных и резонирующих
системах. Возможно, что механизмы диссипации энергии, описанные в разд.
1.13, могут быть вполне действенными для одномерных волн в жидкости; в
самом деле, если эта идея используется для описания распространения волны
вдоль абстрактной трубки лучей, то указанные механизмы будут
единственными. Однако в трубках или каналах с твердыми стенками
значительно большая степень диссипации энергии и, следовательно,
ослабления волны может быть, кроме того, вызвана трением.
В учебниках по динамике жидкости объясняется, что поскольку в безвихревых
течениях на любой твердой границе обязательно существуют ненулевые
касательные составляющие скорости жидкости, то такие течения могут
приближенно изображать движения реальной жидкости, только если на твердой
границе поместить тонкий вязкий пограничный слой. Поперек такого слоя
касательная скорость падает от значения, задаваемого внешним безвихревым
потоком, до нулевого значения, соответствующего непосредственному
контакту жидкости с твердой поверхностью. Завихренность Q является
ненулевой в по-
2.7. Ослабление волны за счет трения
163
граничном слое, толщину которого можно определить так. Завихренность,
генерируемая на твердой поверхности, помимо конвективного переноса за
счет движений в слое, имеющих в основном касательное направление, также
диффундирует с коэффициентом диффузии
равным отношению коэффициента вязкости к плотности (называемому
кинематической вязкостью). Вязкие касательные напряжения (разд. 1.13)
являются механизмом этой диффузии: они также диссипируют энергию в
пограничном слое и порождают силу трения между твердой поверхностью и
жидкостью.
Поэтому ослабление продольных волн за счет трения в трубах или каналах с
твердыми стенками должно быть следствием вязкого замедления и связанной с
ним диссипации энергии в пограничном слое, который отделяет безвихревые
потоки, изученные в разд. 2.1-2.6, от твердых границ. Эти явления легко
поддаются оценке, если, как предполагается в этом разделе, коэффициент
диффузии (117) достаточно мал, чтобы пограничный слой был тонким по
сравнению с размерами поперечного сечения.
Хорошее общее представление о толщине пограничного слоя и других его
свойствах в случае синусоидальных колебаний с частотой со можно получить,
рассмотрев большой объем жидкости в области z >> 0, ограниченный твердой
плоской стенкой z = 0 и находящийся под действием градиента давления
dpjdx в направлении х, пространственно однородного, но синусоидально
зависящего от времени. Мы здесь пренебрегаем любыми изменениями плотности
р и коэффициента вязкости р, вызванными по предположению малыми
изменениями давления или температуры.
Движение жидкости, определенное этими условиями, является простым
сдвиговым движением, в котором у- и z-составляющие скорости жидкости
везде равны нулю, а ^-составляющая и (t, z) зависит только от времени и
от расстояния z до твердой стенки. Вязкое касательное напряжение
представляет собой (разд. 1.13) поток ^-составляющей количества движения
в направлении z через единичную площадку за единицу времени. Другой
ненулевой составляющей касательного напряжения является р2х, которая
имеет то же самое значение, но не влияет на движение: только поток в
направлении z может вызвать изменения количества движения, поскольку это
единственное направление, по которому изменяются пото-11*
V = р/р,
(117)
pxz - -р duldz
(118)
164
2. Одномерные волны в жидкостях
ки. Действительно, вязкая сила в направлении х, действующая на единицу
объема, есть взятый со знаком минус градиент от (118),
pd2u/dz2, (119)
что представляет собой скорость изменения ^-составляющей количества
движения, вызванного различием потоков этой величины наружу и внутрь
жидкого элемента.
Причины, приводящие к возникновению простого сдвигового движения,
заключаются в том, что это движение удовлетворяет уравнению неразрывности
