Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
объем жидкости V меньше А1, если А - характерная площадь поперечного
сечения вне этого сочленения. Таким образом, внутри компактного сужения
имеется фактически несжимаемое течение с потенциалом скорости <р. Однако
локальное уменьшение площади поперечного сечения увеличивает ускорения,
что требует значительных изменений давления, даже несмотря на то, что
сужение компактно. Таким образом, эта ситуация
150
2. Одномерные волны в жидкостях
противоположна ситуации с расширением в виде компактной полости, когда
давление непрерывно, а объемный расход через полость терпит разрыв.
Особенно простым сужением является узкая труба (или канал) небольшой
длины I с постоянной уменьшенной площадью поперечного сечения А0,
соединяющая некоторую более широкую трубу с внешней атмосферой или
большим резервуаром (рис. 23, б). В сужении скорость на единицу объемного
расхода есть 1/Л о, что предполагает разность потенциалов от А к В
приблизительно равной 1/А0 и, таким образом, дает
Ьжр01/А0. (79)
Это приближенное значение может быть получено также при рассмотрении
выражения (61) для эффективной проводимости в А трубы длины I в
предельном случае, когда полная проводи-
N
мость 2^п в в очень велика (как для большого резервуара),
71=2
a (r)11с1 мало. Тогда
У(r)(Г да Y± [г tg (со//сх)]-1 да (^/(р^)) (гоД/сД-1 = (Lia>)~x, (80)
где L = pi 1/А± в соответствии с (79).
При более точном рассмотрении учитывается также, как изменяется <р в
сливающихся течениях перед входом в область сужения и после выхода из
нее. Для этого необходимо численное интегрирование уравнения Лапласа с
учетом фактической геометрии слияний, но во многих случаях поправка с
точностью до одной значащей цифры дается выражением
L = pi (I + 0,8А^)М0| (81)
что может служить приближенным значением для сужений, длина которых мала
по сравнению с характерным поперечным размером А\'*, как на рис. 23, в.
На рис. 23, г показано сужение АВ постоянного сечения, которое является
компактным, но достаточно длинным, чтобы поправка (81) была важной.
Сужение приводит к разветвлению
N
В, где полная проводимость хотя и не бесконечна, но до-
п=2
статочно велика по сравнению с проводимостью Ух трубы АВ, чтобы
пренебречь вторым членом в числителе (61) как произведением малых
величин. Это дает
(rf)-i=( V гп)-* + Ьт.
71=2
(82)
2.5. Полости, сужения, резонаторы
151
В этой формуле впервые встречается закон такого типа, который в
электрических цепях характеризует последовательное соединение
сосредоточенных элементов и при котором суммируются сопротивления
(величина, обратная проводимости, Z = У-1; здесь - избыточное давление,
отнесенное к объемному расходу). Действительно, компактное сужение любой
формы, непосредственно предшествующее разветвлению (или отдельной трубе,
как на рис. 23, а), должно удовлетворять этому закону (82), так как
объемный расход принимает в А то же значение, что и в В, а
избыточное давление в А есть сумма избыточного
давления в В и разности давлений рА - рв при переходе через
сужение.
Специальный случай (рис. 23, д) возникает, когда дальний конец В сужения
является полостью с емкостью С, так что уравнение (82) принимает вид
(УвК)-1 = (Ci и)"1 + Lio. (83)
Тогда на некоторой резонансной частоте со= а>0 (определяемой той же
формулой
ш0 = (LC)-V\] (84)
что и для электрического колебательного контура) эффективное
сопротивление (83) в А падает до нуля, а проводимость оказывается
бесконечной. Это означает резонанс в том смысле, что синусоидальные
колебания с частотой со0> приводящие к большим объемным расходам
жидкости, втекающей и вытекающей из полости (через сужение), могут быть
вызваны через-вычайно малыми колебаниями давления вне полости.
Конечно, много других систем действуют как резонаторы в этом смысле;
например, как показывает (63), труба длиной
N
в четверть длины волны с закрытым дальним концом (2 Уп =
71=2
= 0) имеет бесконечную проводимость, но она не компактна и резонирует на
все частоты, равные произведению нечетного числа на основную частоту.
Система на рис. 23, д, называемая резонатором Гельмгольца, обладает
особыми свойствами; она эффективно резонирует только на одной частоте со0
и является вполне компактной; действительно, уравнения (69) и (81)
показывают, что ее размер меньше с! ю0 и отличается от этой величины
множителем порядка корня квадратного из отношения размера полости к
размеру сужения.
Можно полностью предотвратить вход волн с частотой со0 в какую-либо из
труб, выходящих из некоторого разветвления, такого, например, как В на
рис. 21, введением параллельно с этими трубами компактного резонатора
Гельмгольца, так как
152
2. Одномерные волны в жидкостях
его бесконечная проводимость увеличит сумму 2УП в (56) до бесконечности и
сведет проходящую волну h (t) к нулю. Можно добиться того же эффекта в
прямой трубе АБС с помощью резонатора Гельмгольца, сообщающегося с трубой
в В; рассматривая В как разветвление, где энергия волны может или войти в
