Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
периода, но влияние генерации с отрицательным знаком в течение
предыдущего полупериода создает область отрицательной завихренности,
расположенную ближе к стенке, чем в случае сплошной линии, а
завихренность в этой области сильнее.
2.7. Ослабление волны за счет трения
167
Мы отмечали в предыдущих разделах важность отклика объемного расхода на
колебания избыточного давления. Пограничный слой Стокса (124) вызывает
дефицит объемного расхода, отнесенного к единице ширины стенки, по
отношению к объемному расходу в безвихревом движении, равный
оо
j (uex - и) *=(pia)_1 ( - dpjdx) (v/ia>)i/21 (127)
о
где интегрирование проводится от 0 до оо, но подинтегральное выражение,
конечно, равно нулю вне пограничного слоя. Последний множитель в (127)
таков (поскольку i-1/2 = = (1 - i) 2-1/2), что его действительная и
мнимая части, соответствующие сплошной и штриховой линиям на рис. 25,
вносят количественно равные вклады в дефицит объемного расхода: дефицит в
фазе с иех (алгебраическая сумма площадей, заключенных между сплошной и
пунктирной линиями, причем площадь над последней берется со знаком минус)
равен дефициту, который отстает по фазе на 90° от иех (площади между осью
абсцисс и штриховой линией).
Величина (127), будучи умножена на р, становится дефицитом количества
движения жидкости на единицу площади стенки, скорость изменения которого
(-dpjdx) (v/ico)1/2 (128)
должна отвечать вязкой замедляющей силе, отнесенной к единице площади
твердой стенки (в отличие от силы давления (-dpjdx), действующей на
единичный объем жидкости). Значит, (128) является составляющей (-pxz)z=0
вязкого касательного напряжения; ее вычисление из (118) и (124) дает тот
же результат. Тот факт, что компонента вязкой замедляющей силы (128),
находящаяся в фазе с силой давления, равна компоненте, отстающей на 90°,
отражен на рис. 25: сплошная и штриховая линии имеют одинаковый наклон в
начале координат.
Однако сила давления (-dpjdx), действующая на единицу объема, может
совершать работу только потому, что скорость жидкости в пограничном слое
содержит составляющую в фазе с ней (штриховая линия на рис. 25). Интеграл
от этой составляющей по z находится из (127) в виде'{
(рсо)-1 (-dpjdx) (v/(2co))V2, (129)
так как действительная часть -i-3/2 есть 2-1/2. Соответственно средняя
мощность, передаваемая жидкости на единицу пло-
168
2. Одномерные волны в жидкостям
щади твердой границы, есть
у (рю)"11 дре/дх |2 (V/ (2(й))1/2 , (130)
что должно равняться средней скорости диссипации энергии за счет вязкости
на единицу площади пограничного слоя, так как средняя энергия жидкости не
меняется. Выведенную формулу (130) для средней энергии диссипации в
единицу времени на единицу площади можно получить иначе из (124)
интегрированием поперек пограничного слоя средней скорости диссипации
энергии в единичном объеме
Y р | du/dz |2 = -i(pco)-1| dpjdx |2[ехр [ - z (2co/v)1/2]. (131)
Результаты, даваемые выражениями (127) для дефицита объемного расхода и
(130) для диссипации энергии, которые были здесь выведены точно при
определенных упрощающих предположениях (в частности, неподвижная плоская
стенка и постоянный по пространству градиент давления), можно применять с
хорошей степенью приближения к колебательным движениям довольно общего
вида в трубах и каналах. При условии, что твердые границы поперечных
сечений имеют радиусы кривизны, большие по сравнению с толщиной
расчетного пограничного слоя, его свойства будут подобны свойствам
пограничного слоя на плоской стенке (более подробное обсуждение можно
найти в курсах по теории пограничного слоя; заметим, что осевая
неравномерность градиента давления в масштабе длины волны должна
оказывать еще меньшее влияние). Приведенные выше уравнения можно
использовать в качестве приближенных, если координату z рассматривать как
расстояние по нормали от твердой границы даже тогда, когда эта граница
колеблется.
В частности, тогда скорость диссипации энергии на единицу площади твердой
границы равна приблизительно (130), или, на единицу длины трубы,
\ s (р<о)-'1 dpjdx I2 (v/(2со))1/2 , (132).
где s - твердая часть периметра поперечного сечения (периметр при
исключении всякой свободной поверхности). Аналогично, линеаризованный
объемный расход равен
J = (pi<D)-*(-dpjdx) [A0-s (\/(m))i/2], (133)
где в квадратных скобках из члена А0, появляющегося в результате
интегрирования скорости безвихревого движения
2.7. Ослабление волны еа счет трения
169
по площади поперечного сечения, вычитается член, соответствующий "площади
вытеснения", полученный умножением периметра s на (127), т. е. на дефицит
объемного расхода, приходящийся на единицу ширины.
Для движений с частотой со уравнение (133) можно записать как
видоизмененную форму уравнения (105) следующим образом:
dJldt = -cYdpJdx [1 - (v/(ico))1/2 (s/A0)]. (134)
Действительная часть множителя в квадратных скобках представляет
эффективную инерцию, увеличившуюся за счет дефицита объемного расхода, в
