Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разветвления с проводимостями у последующего разветвления. Многократное
применение этой формулы в обратном порядке, начиная от наиболее
отдаленных разветвлений и кончая самым первым, позволяет охарактеризовать
свойства всей системы; подобным образом цепи переменного тока изучаются с
помощью суммирования (в соответствии с законами Кирхгофа) зависящих от
частоты комплексных проводимостей (или сопротивлений) "сосредоточенных
элементов" сети. Эта аналогия вызывает вопрос, могут ли для одномерных
волн в жидкости существовать какие-либо сосредоточенные элементы с чисто
мнимой проводимостью, подобные таким обычным элементам электрической
цепи, как емкости и индуктивности. В этом разделе мы найдем их близкие
аналоги, укажем, как можно проанализировать системы с такими элементами,
и исследуем условия резонанса, в некоторых случаях аналогичные условиям
"колебательного контура".
Однако прежде всего мы укажем, как полученное в разд. 2.3 правило
вычисления потока энергии в виде проводимости, умноженной на квадрат
избыточного давления, должно быть изменено, когда проводимости
комплексные. Конечно, любое
2.5. Полости, сужения, резонаторы
145
комплексное выражение, подобное ргеш или Ypxem для избыточного давления
или связанного с ним объемного расхода, означает, что следует взять
действительную часть, а именно
у {р^е1(й1-{- Р1в~ш) или у (YР\вш + Ур^~шг) (64)
соответственно, где черта обозначает комплексное сопряжение. Поток
энергии, т. е. произведение двух выражений в (64), включает независимый
от времени член
\(х+у)р^=т{\\р^} (65)
(где М обозначает действительную часть), который является его средним
значением, потому что оставшаяся часть выражения для потока энергии
осциллирует с частотой 2со. Вычисляя аналогично среднее от квадрата
избыточного давления, равное величине в фигурных скобках в (65), мы
выводим видоизмененное правило:
Средний поток энергии fflY' (66)
Среднее квадрата избыточного давления| '
таким образом, только действительная часть MY комплексной проводимости
связана с любой усредненной передачей энергии.
В теории электричества емкость С определяется как заряд, накапливаемый
системой при увеличении потенциала на единицу. Флуктуация потенциала
вызывает флуктуацию
накапливаемого заряда CV M's>t и соответствующего тока (скорости
изменения заряда) CiсоТ^е1"4, откуда следует, что проводимость Y = Ci&.
Аналогично в системах, проводящих одномерные волны, полость могла бы
принять дополнительную жидкость, когда давление возрастает. Если полость
компактна, так что изменения давления повсюду в полости находятся в фазе,
то ее емкость С может быть определена как объем избыточной жидкости,
которую она принимает при увеличении давления на единицу. Тогда
флуктуация давления pxeib,t приводит к объемному потоку в полость d
(Cp^'^/dt, что дает проводимость
Y = Ст. (67)
Отметим, что действительная часть (66) этой проводимости Y равна нулю:
избыточное давление и объемный расход жидкости, втекающей в полость,
смещены на 90° по фазе, так что средний поток энергии в полость равен
нулю и средняя энергия в этой полости сохраняется неизменной, если,
конечно, пренебречь диссипацией.
10-01100
146
2. Одномерные волны в жидкостях
Если V - объем жидкости, заполняющей полость в невозмущенном состоянии,
то СIV представляет собой относительное увеличение количества жидкости в
полости на единицу увеличения давления. Как и в уравнении (10), эту
величину можно записать как сумму сжимаемости жидкости К и растяжимости
полости D
CIV = К + D. (68)
Только последнее слагаемое увеличивает фактический объем полости (на
величину DV на единицу увеличения давления); но сжимаемость уменьшает
объем, занимаемый уже содержащейся в полости жидкостью (на величину KV на
единицу увеличения давления), что также позволяет принять дополнитель-н
ую жидкость.
Другая формула для емкости полости
С = Fp-V2 (69)
подсказывается уравнением (10), хотя оно, строго говоря, имеет смысл
только для труб. Мы допускаем полости самой произвольной формы; тогда
уравнение (69) будет справедливо, только если с понимать как скорость
волны в трубе, имеющей ту же растяжимость D и содержащей жидкость с той
же сжимаемостью К и невозмущенной плотностью р0. В частности, формула
(69) справедлива для звуковых волн в жестких полостях (при этом с равна
скорости звука) или для длинных волн на поверхности воды в резервуаре
(где c2/g равно средней глубине К) при условии, что все полости
компактны. Отметим также, что если на самом деле полость является трубой
АВ с закрытым концом В, то формула (69) может быть получена иным путем
N
из (61). Считая проводимость в В нулем, а сol/c1 - малой
п=2
величиной, получим эффективную проводимость в А в виде
iYх tg (coZ/cx) ж i (^/(рц^)) (coZ/ci) = Cia, (70)
где С принимает вид (69), если в качестве V взять объем трубы Аг1.
Рассмотрим более общий случай. Пусть на рис. 22 (где АВ
N
по-прежнему компактна) проводимость ^]Уп в В не совсем
