Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, в случае, подобном показанному на рис. 20, д, было бы
справедливо потребовать непрерывности при х = 0 скорости и, заданной
формулами (37) для х < 0 и (38) для х~^> 0, так как скорость должна быть
непрерывна при переходе через границу раздела двух жидкостей.
Тем не менее эти соображения становятся неверными в любом случае, когда
происходит изменение площади поперечного сечения. Например, в случае г
скорость действительно непрерывна при переходе через границу раздела, но
скорость в середине области сужения больше, чем соответствующая скорость
в широкой трубе, и меньше, чем соответствующая скорость в узкой трубе,
где тот же самый объемный расход жидкости проходит через меньшее
поперечное сечение. В общем случае, Как и в вышеупомянутом, именно
объемный расход Аи непрерывен в сочленении; в основном потому, что в
обеих жидкостях он меняется очень мало на рассматриваемом коротком
расстоянии, а на самой поверхности раздела нет разрыва объемного расхода.
......
2.3. Передача волн через сочленения
133
Строгая проверка этого утверждения требует оценки разности Арг^ - А2и2
между объемами жидкости, втекающей в область сочленения и вытекающей из
нее в единицу времени. Запишем эту разность как интеграл по области
сочленения
А1Щ - А2и2 = j (К + D) (dpjdt) dV, (39)
v
где V - объем жидкости в области сочленения, а (К + D) X X (dpjdt) -
относительная скорость его изменения за счет сжимаемости и растяжимости.
Используя выражение (10) для К + D и принимая порядки dpjdt и V равными
соответственно со(р0с)гги А1 (где р0, с, и и А - значения плотности,
скорости звука, скорости жидкости и площади поперечного сечения в
промежуточной точке), получим в качестве оценки правой части (39)
величину (соНе) Аи, которой можно пренебречь по сравнению с каждым членом
в левой части равенства (39) при условии компактности (36). Заметим, что
аналогичные соображения приводят к получению из линеаризованного
уравнения количества движения
р0 du/dt = -dpjdx
выражения
г/2
Ре\ - Рег= j (р 0du/dt)dx. (40)
-г/2
Этот интеграл по длине сочленения I имеет порядок
Ро I(r) (poc)_1pe] I = (соНе) ре, (41)
что подтверждает корректность условия непрерывности давления.
Эти два условия отражают особую природу жидкостей, а именно их
способность передавать daeAeuue неизменным от одного поперечного сечения
к другому и подобным же образом, сохраняя объемный pacxod, изменять его
структуру применительно к поперечному сечению с иной формой и размером.
Волны в твердых телах подчиняются другим законам: продольные волны,
бегущие вдоль металлического стержня, удовлетворяют при внезапном
изменении поперечного сечения условиям непрерывности силы и скорости',
например, полные продольные силы, приложенные к обеим сторонам малого
элемента материала, расположенного в сочленении, должны эффективно
уравновешивать друг друга, так как нет другой силы, чтобы сбалансировать
их. Это соображение непригодно для жидко-
134
2. Одномерные волны в жидкостях
стей, потому что разность действующих на жидкость в сочленении продольных
сил
Pel-41 - ре2А2,
уравновешена суммой реакций стенки трубы у ее сужения...
Из условия непрерывности объемного расхода Аи при х = = 0, который для х
<С 0 вычисляется по формуле (37) при А = = Аъ а для х > 0 - по формуле
(38) при А = А2, следует, что
[/ (t) - g (f)] = Yjh (t), (42)
где
Yx = Аг (p^)-1 и Y2=A2 (p^)-1 (43)
- обозначения двух комплексов таких переменных, как площадь, плотность и
скорость волн, которыми исчерпывается вхождение последних в условие (42).
Так как (35) и (42), очевидно, определяют и отраженную волну g, и
проходящую волну h, то этим подтверждается более раннее утверждение, что
они зависят от указанных шести величин только в комбинации Y2!Yx.
Величины Yx и Y2, важность которых показана этим анализом, называются
проводимостями этих двух труб. Из уравнения (32) становится ясным, что
для неискаженной бегущей волны
,, " Объемный расход в направлении распространения
У1 - ПрОВОДИМОСТЬ - ---------------т1Г'Р--------------------------
1 г Избыточное давление
(44)
и из уравнений (34) и (38) следует та же самая физическая интерпретация
для Y2. Термин "проводимость" выбран по аналогии с электротехникой, где
Ток
Проводимость = -fr---------------------. (45)
1 " Разность потенциалов ' '
В обеих упомянутых дисциплинах величина Y, называемая проводимостью,
используется наряду с обратной ей величиной Z = 1IY, называемой
сопротивлением; позже будут выведены правила, позволяющие определить, в
каких случаях одна из них более удобна для изучения волн в жидкости, чем
другая. Деление уравнения (42) на уравнение (35) дает
у / (0 g (0 _у / /
1 /(*)+*(*) 2 ('
- простое уравнение для отраженной волны g, решение которого есть
g (t)lf (t) = <ух - YMY, + У2). (47)
2.3. Передача волн через сочленения 135
Это соотношение, согласно (35), означает, что
h(t)/f(t)=2Y1f(Y1 + Y2). ' (48)
В связи с этими результатами следует отметить первый особый случай: если
