Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разных индивидуумов), а частично с тем, что аорта имеет большую
растяжимость и, следовательно, более низкое значение скорости волны с,
чем подвздошные и другие еще более периферийные артерии. Тогда из
уравнения (55) следует наличие положительного отражения волны (gif > 0).
140
2. Одномерные волны в жидкостях
Наблюдение флуктуаций давления в аорте согласуется с качественным
заключением о положительной отраженной волне. Физиологическое значение
возникающих в результате повышенных перепадов давления в относительно
растяжимой аорте состоит в том, что они способствуют накоплению крови,
выбрасываемой сердцем при каждом ударе, для обеспечения сравнительно
постоянной периферийной циркуляции.
Выше, в грудной аорте, есть ряд сочленений совершенно другого типа, в
каждом из которых две узкие межреберные артерии отводят из аорты
небольшое количество крови, предназначенное для питания области, лежащей
между двумя парами ребер. В этом случае N = 4, а проводимости Y1 и У2
частей аорты, лежащих выше и ниже разветвления, по существу равны и очень
велики по сравнению с проводимостями Y3 и Yk меж-реберных артерий. Сумма
в (56), следовательно, близка к Y ъ и соответственно имеет место почти
полная передача пульсации. Этот результат, никоим образом не удивительный
для непрерывной передачи вниз по аорте, заключает в себе нечто более
интересное - флуктуации давления, распространяющиеся вдоль межреберных
артерий, те же, что и в самой аорте.
В точности аналогичное рассмотрение применимо для длинной волны, которая
распространяется вверх по устью реки, подходит к ее разветвлению или
проходит в малые притоки. Разветвление вызывает положительное отражение,
когда сумма проводимостей двух рек меньше, чем проводимость эстуария,
который они образуют после слияния. (Для открытых каналов вообще,
согласно (19) и (54), проводимость равна
Y = bfc/(p'(gfc)V*) = bhW/fagV*), (58)
т. е. пропорциональна ширине поверхности воды Ъ и корню квадратному из
средней глубины h.) Кроме того, по узким притокам, впадающим в эстуарий
сбоку, проходят те же флуктуации уровня воды {pjpg), что и в любой
длинной волне, распространяющейся вдоль эстуария.
В этом введении к прохождению волн через разветвленные системы мы будем
избегать анализа сложных случаев, но сделаем следующий шаг после изучения
одного разветвления и покажем, как взаимодействуют два разветвления, есди
расстояние между ними не предполагается компактным. Это приводит к
качественно новым особенностям, тогда как множественные взаимодействия
между ветвями в сложной системе лишь количественно увеличивают объем
необходимых вычислений.
Рассмотрим (рис. 22) разветвление В, в точности подобное разветвлению на
рис. 21, за исключением того, что труба № 1
2.4- Распространение волн череа разветвленные системы
141
Рис. 22. Взаимодействия между разветвлением А (где х = -I) и развет
влением В (где х - 0).
длиной I сама является одной из труб, получающих волны, проходящие через
расположенное выше разветвление А. Отношение отраженной волны к падающей
в разветвлении В (для которого х = 0, как и на рис. 21) по-прежнему
определяется с помощью (55). Вычислим эффективную проводимость трубы № 1
в разветвлении А (где х - -I). Она определяется как отношение объемного
расхода Apt к избыточному давлению ре при х = -I. Принимая во внимание,
как и в уравнениях (37) и (33), наличие волн обоих направлений в трубе №
1, получим
¦yeff _ у /(t-H/cO - g(t- I/Cl) /rq,
1 1 / (* + //Cl) + г (* - i/cx) * K '
Если мы сможем вычислить раз и навсегда - отношение объемного расхода в
трубе № 1 к избыточному давлению в разветвлении А, полученное с учетом
наличия второго разветвления В, - то исследование разветвления А можно
будет проводить в точности по правилам, описывающим единственное
разветвление, заменив Yi - проводимость трубы № 1 в А - на F(r)ff при
суммировании проводимостей всех труб, которые получают волны, проходящие
через А.
Качественно новая особенность этой задачи - время запаздывания Ис1 между
приходом волн в А и В, которое в формуле (59) сдвигает /-волну (бегущую
от А по направлению к В) и g-волну (бегущую от В по направлению к А) в
противоположных направлениях. Это обстоятельство важно, потому что оно не
позволяет непосредственно использовать уравнение (55), определяющее g
(t)lf (t), для вычисления (59).
Способ обойти эти трудности, общепринятый в исследованиях по
распространению волн через разветвленные системы,- это фурье-анализ в
классе комплексно-экспоненциальных вол-
142
2. Одномерные волны в жидкостях
новых форм, пропорциональных eiat. В рамках линейной теории, "вынуждающее
воздействие", которое вызывает проходящие через систему волны (каково бы
оно ни было), можно с помощью фурье-анализа представить в виде линейной
комбинации членов вида emt с различными значениями со, и если любая
характеристика отклика системы может быть вычислена отдельно для каждого
такого члена, то полный отклик должен быть той же самой линейной
