Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Однако, прежде чем это делать, нам хотелось бы отметить ¦одно следствие
окружного напряжения (23), с необходимостью •сопровождающего окружную
деформацию (24), а именно появление деформаций противоположного знака и
несколько меньшей величины в направлениях, ортогональных этой деформации.
Нет нужды комментировать радиальную деформацию, представляющую собой
просто небольшое относительное уменьшение толщины стенки при ре > 0.
Некоторые интересные задачи возникают, однако, в связи с продольной
деформацией сжатия стенки трубы, порождаемой таким избыточным давлением
жидкости.
Ее величину можно определить по формуле
д\!дх - -aa0pe/(hE), (26)
тде | - продольное смещение частицы стенки трубы, а деформация дЪ,Гдх
представляет собой относительное изменение длины короткого отрезка трубы.
Константа о, если материал изотропен, есть коэффициент Пуассона (см.
курсы теории упругости), тогда как для труб из произвольного материала (-
а/Е) - зиго коэффициент, связывающий продольное удлинение с окруж-
126
2. Одномерные волны в жидкостях-
ным растягивающим напряжением. Типичные значения а лежат в диапазоне от
0,2 до 0,5.
Таким образом, хотя продольные волны в заполненных жидкостью эластичных
трубах могут вызывать продольные смещения ? самих стенок трубы, инерция
этих смещений не оказывает существенного влияния на законы
распространения указанных волн. Это можно проверить, показав, что
продольное напряжение сжатия рь которое необходимо для преодоления
указанной инерции, мало по сравнению с (23) и не меняет характера системы
напряжений в стенке трубы, в основном соответствующего простому
растяжению.
Действительно, линеаризованное уравнение количества движения для
продольных перемещений материала стенки трубы,, имеющего по предположению
плотность ps, таково:
d2ptldx2 = (рsaa0/(hE)) d2pjldt2 = (рsaa0!{hE)) с2д2ре/дх2, (28)
откуда с помощью выражений (10) для с2 и (25) для D получим*
Это показывает, во-первых, что продольные напряжения* имеют самое большее
такой же порядок величины, как и радиальные, и поэтому столь же малы по
сравнению с окружными* напряжениями, использованными при вычислении
растяжимости (25), и, во-вторых, что продольные напряжения стенки трубы
синфазны давлению жидкости (а стало быть, скорость-жидкости и скорость
твердой стенки также синфазны); соответственно решения волнового
уравнения (8), удовлетворяющие-граничным условиям, наложенным на жидкость
либо на свободном открытом конце (нулевое избыточное давление), либо' на
жестко закрепленном закрытом конце (нулевая скорость), должны также
удовлетворять соответствующим граничным условиям, наложенным на материал
стенки трубы, и, следовательно, быть приемлемыми в целом.
Другой тип продольного распространения волн в заполненных жидкостью
эластичных трубах наблюдается, однако, если труба "зафиксирована" по
отношению к продольным смещениям, т. е. закреплена снаружи таким образом,
чтобы сделать их невозможными. Такая фиксация на самом деле весьма
обычное свойство эластичных труб, по которым распространяются волны.
Укажем кратко на явление, связанное с ним в случае
ps d2l.ldt2 = -dpjdx. Согласно уравнениям (26) и (27),
(27)
Pi! Ре = + (р,/ро).
(29)
2.2. Примеры
12?
изотропности материала: фиксирующий механизм должен порождать
компенсирующее напряжение, равное по величине (26) и противоположно
направленное, создавая силы, вызывающие в стенке трубы продольное
растягивающее напряжение aa0pe/h.
Это продольное напряжение сравнимо с окружным (23) и вызывает, как и оно,
деформации в перпендикулярных направлениях, которые можно вычислить,
умножив его на (-а/Е). Добавление одной из них к окружной деформации (24)
равносильно умножению ее на (1 - а2). Окончательно получим, что
растяжимость закрепленной трубы уменьшается до
D = 2а0 (1 - o2)l(hE). (30)
Формулы (25) и (30) описывают волновые движения, существенно различные по
механизму их распространения, хотя разница между вкладами растяжимости в
выражение (10), определяющее р~1с~2, для этих двух случаев не очень
велика и обусловлена множителем (1 - а2).
Сжимаемость К для воды равна 5 • 10_5 бар-1(где 1 бар = = 105 Н/м2 -
нормальное атмосферное давление), и это намного больше, чем растяжимость
большинства металлических труб, для которых отношение диаметра к толщине
стенки 2a0/h едва ли может в (25) и (30) уравновесить влияние очень
малого коэффициента податливости Е~г, имеющего порядок 10-6 бар-1.
Распространение по водопроводным сетям гидравлического удара (больших
флуктуаций давления, вызванных быстрым закрытием крана) происходит,
следовательно, со скоростями, близкими к скорости звука в воде (1400
м/с).
Напротив, скорость продольных волн может упасть существенно ниже этой
величины для водопроводных труб, сделанных из более растяжимых
материалов, например из пластмассы. Весьма крайний случай этой ситуации
представлен эластомерами (вроде вулканизированной резины) с
коэффициентами податливости Е~х порядка 10-1 бар-1. Далее, если
