Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
возможно, между одной и той же жидкостью с различными значениями удельной
энтропии), плотности которых рг и р2. Невозмущенное давление р0 имеет
тогда линейное гидростатическое распределение, и уравнение (1) описывает,
как обычно, любое избыточное давление ре, возникающее из-за наличия
волны. Для того чтобы методы этого раздела были применимы, изменения в
случаях гид также должны происходить в пределах компактной области, а это
для случая д означает, что угол наклона трубы не должен быть слишком,
мал. -
9-01100
130
2. Одномерные волны в жидкостях
2
1 / .
а
\_______________
7
2
---------6
/
Рис. 20. Некоторые виды сочленений.
а- сравнительно быстрое расширение; б - скачкообразное сужение; в -
одновременное изменение ширины и глубины канала; г - соединение,
содержащее горизонтальную поверхность раздела (пунктирная линия) между
различными жидкостями; д - наклоненная трубка с подобной поверхностью
раздела, но без изменения поперечного сечения.
Прохождение волны через сочленение в самом общем случае зависит от шести
параметров: Аг, рь сх и А2, р2, с2 - площади поперечного сечения,
плотности и скорости звука в трубах № 1 и 2 соответственно. Такую сложную
зависимость от шести переменных (из которых можно образовать три
независимых безразмерных переменных p2/pi? ^2^1) было бы трудно
исследовать экспериментально, если бы не было следующих теоретических
соображений, указывающих, что существенной является зависимость всего
лишь от одной безразмерной переменной (AJA^ (p2/pi) -1 (c2/ci) _1.
2.3. Передача волн через сочленения
131
Мы рассмотрим случай, когда сначала жидкость невозму-щена везде в трубе №
2 и в трубе № 1 везде, кроме области, расположенной далеко слева от
сочленения. Из этой области бегущая "падающая волна", заданная
выражениями
ре = f{t - x/cj, и = (рл)-1 / (f - x/cj (32)
(ср. (11) и (12)), приближается к сочленению, положение которого выбрано
как х = 0, причем х < 0 в трубе № 1 и х > О в трубе № 2. Если / (t) = 0
для t < О, то волна не достигает сочленения при t < 0 и жидкость в трубе
№ 2 остается невозмущенной, в то время как движения в трубе № 1 полностью
описываются уравнениями (32).
Самое общее решение волнового уравнения для ре в трубе № 1 есть
ре = f(t - xlc-y) + g(t + х/сг), (33)
и можно ожидать, что после того, как волна достигнет сочлене-
ния, она содержит член g (t + х/сх), отвечающий возможному частичному
отражению падающей волны у сочленения. Между тем, как только возмущение
достигнет сочленения, в трубе № 2 может возникнуть бегущая волна
ре = h (t - x!c2) (34)
с соответствующей скоростью распространения. С другой сто-
роны, мы исключаем возможность появления в трубе № 2 каких-либо
составляющих волны, зависящих от t + х'с2, потому что такие составляющие
будут представлять волны, бегущие в отрицательном ^-направлении из
области с большим положительным х, которая предполагается певозмущенной.
Очевидно, практически труба № 2 должна иметь некоторую конечную длину L.
Это означает, что любая волна (34), бегущая в положительном ^-
направлении, может генерировать, когда она достигнет х = L, отраженную
волну, бегущую в противоположном направлении. Однако при данном
рассмотрении мы пренебрегаем этой волной, отраженной от дальнего конца
трубы, либо потому, что мы ограничиваем анализ временем t < 2Ысг, за
которое волна не успеет вернуться и повлиять на условия у сочленения,
либо потому, что мы предполагаем L настолько большим, что даже при том
довольно малом коэффициенте ослабления волны, который может иметь место
(разд. 1.13 и 2.7), волна, отраженная при х = L, станет пренебрежимо
малой, дойдя до х = 0. Таким образом, мы рассматриваем только падающую
волну /, волну g, отраженную от сочленения, и проходящую волну h.
Чтобы определить неизвестные функции g и h из известной (согласно
предположению) функции /, требуется два уравне-
9*
132
2. Одномерные волны в жидкостях
ния, из которых первое
/ (0 + ? (t) = h (t) (35)
выражает необходимость непрерывности избыточного давления ре, заданного
формулой (33) для 0 и формулой (34) для 0. Тот факт, что изменение
свойств около сочленения (если оно не происходит скачком при х = 0)
происходит на расстоянии порядка I, удовлетворяющем условиям компактности
coZ/ct^>l и coZ/c2< 1, (36)
где со - характерная частота, означает, что в любом из членов
уравнений (33) и (34) в пределах Z можно ожидать лишь небольших
изменений; это наводит на мысль, что флуктуации давления также могут быть
почти одинаковыми во всей области сочленения, и подтверждает условие
непрерывности (35) (см. также (41) ниже).
Можно было бы предположить, что второе условие у сочленения должно
состоять в непрерывности скорости жидкости и, величина которой
и = (рКл)-1 [/ (t - х/су) - g (t + x/cj)] (37)
в трубе № 1 содержит член (PiC1)_1pe Для каждого компонента
волны в направлении его распространения', величина скорости в трубе № 2
аналогично равна
и = (рaCa)"1^ (Z - ж/с2). (38)
