Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
проводимости в точности согласованы (т. е. хотя поперечные сечения,
плотности, волновые скорости в двух трубах могут быть совершенно
различны, их комбинации (43) равны одной и той же величине = Y2), то
отраженная волна отсутствует. Тогда форма проходящей волны h (t)
идентична форме падающей волны / (t). Это следует из того, что
проводимость есть отношение объемного расхода к избыточному давлению в
простой бегущей волне; соответственно простые бегущие волны в двух
различных трубах могут сосуществовать, если проводимости труб равны, что
делает совместными условия непрерывности для избыточного давления и для
объемного расхода. "Согласование проводимостей" (называемое также
"согласованием сопротивлений" при использовании обратных величин Zx =
1l/Y1 и Z2 = 1IY2) является эффективным методом передачи волновой энергии
из одной среды в другую без нежелательных отражений.
При наличии отраженной волны g того же знака, что и /, отношение
объемного расхода к избыточному давлению при х = 0 в трубе № 1
уменьшается до величины
v /(*)-*(*)
1 /(") + "(<) '
которая представляет собой отношение левых частей (42) и (35). Это
уменьшение вызвано тем, что отраженная волна увеличивает избыточное
давление при х - 0 и в то же время уменьшает объемный расход в
направлении распространения падающей волны на величину Yxg (t). Из
уравнения (46) следует, что для того, чтобы согласовать отношение (49) с
проводимостью Y2<C.Yx в трубе № 2, необходимо положительное отражение (g
должно быть того же знака, что и /). Крайний случай такой ситуации - это
когда труба № 2 закрыта (У2 = = 0), что требует g = /, т. е. происходит
полное положительное отражение.
С другой стороны, если Y2 > Yt (потому ли, что труба № 2 имеет большее
поперечное сечение, более эластична или содержит более легкую жидкость),
то уравнение (47) требует отрицательного отражения с g/f < 0. Крайний
случай такой ситуации- это когда YJYх очень велико, например у открытого
конца трубы (соединение между трубой и окружающей атмосферой), где
объемный расход внутрь и наружу неограничен, но контакт с атмосферой
делает избыточное давление очень
(49)
136
2. Одномерные волны в жидкостях
малым. (Это также можно представлять себе как сочленение открытого канала
с большим резервуаром.) Тогда g = -/, т. е. имеет место полное
отрицательное отражение.
В любой бегущей волне поток энергии очень просто связан с проводимостью.
Скорость передачи энергии в направлении распространения есть скорость,
умноженная на силу, равную площади поперечного сечения, умноженной на
избыточное давление; другими словами, это объемный расход, умноженный на
избыточное давление, что в свою очередь равно проводимости, умноженной на
квадрат избыточного давления. Например, в падающей волне (32) скорость
передачи энергии есть YJ2 (t - x/cf). Аналогично, в отраженной волне она
равна Yig2 (t + ж/cj), а в проходящей волне YJi2 (t - xlc2).
Сохранение энергии для сочленения х = 0 может быть легко проверено:
отношение отраженного потока энергии к падающему равно
g2(t)/f2(t) = (Ух - У2)2/(УХ + У2)2, (50)
а проходящего к падающему -
Уа h\t)!(Yx т) = 4УХУ2/(Yх + У2)2. (51)
Эти отношения являются неотрицательными числами, сумма которых равна 1,
т. е. вся энергия, которая не отражается, проходит.
Заметим, что если проводимости согласованы лишь приблизительно -(У2/Ух
близко к 1, но не равно ей), то имеется все же почти идеальная передача
энергии. Отношение энергий отраженной волны к падающей (50) в этом случае
около (1/4) (У2/Ух - I)2, т. е. пропорционально квадрату ошибки
согласования; этот результат используется далее в разд. 2.6.
Рассмотрим в заключение случай, когда труба № 2 хотя и не закрыта, однако
У2 очень мало по сравнению с Ух, как на рис. 20, б: понятно, что
(согласно (47)) в этом случае величина gif близка к 1 (значению этой
величины для закрытой трубы, где У2 = 0), но (48) дает довольно
удивительный результат, что hlf почти равно 2. Поскольку, согласно
предположению, У2 мало, то поток энергии Y2h? в трубе № 2 невелик;
действительно, его отношение (51) к падающему потоку энергии всего лишь
около 4 (У2/Ух). Тем не менее амплитуда давления в проходящей волне
приблизительно в два раза больше, чем в падающей волне; это имеет место,
в сущности, потому, что на почти закрытом конце трубы № 1 происходит
почти полное положительное отражение и, таким образом, создается почти
удвоенная амплитуда давления, на что труба № 2 отвечает соответственно.
2.4. Распространение волн через разветвленные системы
137
2.4. Распространение волн через разветвленные системы
Правила разд. 2.3, определяющие отраженную и проходящую волны, когда
единственная волна падает на единственное-сочленение, являются основными
фактами, исходя из которых оказывается возможным рассчитать
распространение волн вдоль трубы или канала, имеющих, скажем,
последовательность таких сочленений, или даже (разд. 2.6) непрерывное
распределение изменения свойств. Однако для разветвленных систем,
