Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
п=2
нуль, как для закрытого конца, однако достаточно мала по сравнению с У1?
чтобы пренебречь вторым членом в знаменателе (61) как произведением малых
величин. Тогда
Yf = S Yn + Cm, (71)
n=2
2.5. Полости, сужения, резонаторы
147
в точности так, как если бы труба № 1 действовала аналогично полости с
проводимостью Ciсо, подсоединенной параллельно с трубами № 2, . . ., N.
Действительно, компактная полость любой формы, непосредственно
предшествующая разветвлению, действует как дополнительная проводимость
Cico, подсоединенная параллельно, и, следовательно, она прибавляется к
проводимостям труб, образующих разветвление, потому что флуктуации
давления находятся в фазе по всей полости, в то время как объем
дополнительной жидкости, втекающей в полость, есть сумма соответствующих
объемов жидкости, накапливаемой в полости и той, которую проводят ветви.
Атеросклероз - болезнь, при которой аорта становится менее растяжимой и
поэтому может вместить объем крови, выталкиваемый при каждом ударе,
только если сердцем создается значительно более высокое давление. В этом
случае нагрузка на сердце может быть уменьшена с помощью протеза, который
эффективно добавляет параллельно к аорте, имеющей чрезвычайно низкую
проводимость, полость с большой мнимой проводимостью Ciw; например (если
это иммунологически приемлемо), с помощью наполненного газом баллона,
помещенного в грудном отделе аорты, который освобождает место для
значительного избытка крови, сплющиваясь при увеличении давления.
Уравнение (61) может быть полезным также в противоположном случае, когда
АВ - труба (не обязательно компактная), заканчивающаяся в В компактной
выпуклой полостью (где,
N
следовательно, 2 Уп - Cico); тогда эффективная проводимость
71=2
в А дается формулой
... ,-v ^8 {(oilCi) + (Сш/Yi) .v [~ <B /7 i 7^| mn\
~lYi i-(Co/y)tg(oi7c0 ~lYl tgL Cl f + Уи>
где
l0 = (cj/cd) arc tg (CcolYJ. (73)
В выражении (72) Y(r)tf приравнено к значению, которое соответствует
проводимости прямой трубы с увеличенной длиной I + 10 и закрытым концом;
значит, добавление полости равносильно увеличению длины трубы на 10.
"Эффективная длина" 10 не обязана удовлетворять условию компактности,
даже когда для самой полости оно выполняется; например, если значения р и
с в полости равны значениям рх и clt которые они имеют в трубе, то
величина Cu)/Y1 в (73) есть
(Fcd/(Px^))/(Ax/(pxCi)) = (со/сх) (У/Ах), (74)
ю*
148
2. Одномерные волны в жидкостях
что не обязательно мало, поскольку шарообразная полость объема V может
быть компактна и без компактности отношения VIA-! ее объема к площади
поперечного сечения трубы. Действие полости равносильно изменению фазы
отраженного сигнала, который, согласно (47), принимает вид
g(t)=f (t) (Yx - Ci(o)l(Y! + Cm), (75)
и, стало быть, его можно записать как
ё (0 = / (0 ехр (-2Ш0/с1), (76)
где 1о дается выражением (73). Такая форма записи соответствует
положительному отражению без изменения амплитуды (и, следовательно,
несущему в обратном направлении весь поток энергии), но с задержкой на
время 210/съ т. е. на время, необходимое волне, чтобы пройти по трубе
дополнительное расстояние 10 и вернуться назад.
Электрические воздействия, во многом противоположные воздействиям
емкости, вызываются сосредоточенным элементом, представляющим собой
индуктивность L, определяемую как магнитный поток через контур, деленный
на единичный ток в нем. Ток, изменяющийся как /1ег<°г, вызывает
изменяющийся магнитный поток Ljxex<i>t и, следовательно, по закону
Фарадея, избыточный потенциал, равный скорости изменения магнитного
потока LmjxeX(l>t, что дает чисто мнимую проводимость (Li(o)_1 с
отрицательной мнимой частью, обратно пропорциональной со.
Аналогично, для одномерных волн узкое отверстие или сужение трубы требует
избыточных давлений, необходимых для создания ускорений, если объемный
расход через сужение предполагается флуктуирующим. Рис. 23, а
иллюстрирует компактное сужение АВ: его индуктивность L может быть
определенакак невозмущенная плотность р0, умноженная на разность фв - Фд
потенциалов скорости в А и В и деленная на объемный расход от А к В. Если
этот объемный расход флуктуирует как /1ег<0*, то
Ро (фв - Фа) = и, следовательно, р\ - pB=Li(o/1elt°I;
(77)
отсюда проводимость равна
(Lico)"1. (78)
Компактность сужения обеспечивает непрерывность объемного расхода через
него, согласно уравнению (39) и следующим за ним рассуждениям,
убедительность которых в данном случае даже увеличивается, потому что в
суженном сочленении длины I
2.5. Полости, сужения, резонаторы
149
ЛI J
л.
г
D Ад А
'1 I
Рис. 23. Некоторые виды сужений:
а - очень короткое сужение, соединяющее две трубы; б - более длинное
сужение, соединяющее трубу с атмосферой; в - маленькое отверстие в
закрытом конце трубы; г - сужение, ведущее к разветвлению В; д -
резонатор Гельмгольца (сужение, открывающееся в полость); е - сужение,
соединяющее с атмосферой полость, расположенную на конце длинной трубы.
