Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
резонатор, или пройти прямо в ВС, или отразиться назад к А, мы видим из
(55), что бесконечная полная проводимость в В вызовет полное
отрицательное отражение. Проходящей в ВС волны не будет, и колебания
объемного расхода из АВ будут полностью компенсированы потоками жидкости,
втекающей и вытекающей из резонатора.
Противоположный эффект возникает, когда труба заканчивается (рис. 23, е)
полостью АВ, соединенной через сужение ВС с атмосферой или с очень
большим резервуаром. Уравнение (71) выражает тот факт, что проводимость
полости Ci со должна быть добавлена к проводимостям других элементов,
которым она предшествует, что дает в этом случае
Yft = С ia + (Li со)"1. (85)
Здесь именно проводимость в А обращается в нуль при резонансной частоте,
так что полость ведет себя подобно закрытому концу! Причина, по которой
она может противостоять флуктуациям давления с частотой ю0 у входа А,
расположенного напротив сужения, без какого-либо потока в него, состоит
просто в том, что полость при отсутствии такого отверстия может
резонировать на этой частоте, т. е. могут возникнуть свободные колебания
давления в полости с произвольной амплитудой, точно уравновешивающие
потоки внутрь и наружу через сужение.
Аналогичное поведение обнаруживается, когда однородная труба или канал АВ
заканчивается сужением с индуктивностью
N
L. Тогда уравнение (61) при S = (Liсо)-1 дает
71=2
(i-ц]. (86)
где
h - (ci/(c)) arcctg (LcoYj). (87)
В противоположность уравнению (72) теперь эффективное сопротивление трубы
АВ такое же, как трубы уменьшенной длины I - 1и оканчивающейся закрытым
концом! Это по существу вызвано тем, что АВ обладает замыкающей частью СВ
длины llf которая вместе с сужением в В образует резонатор, оказывающий
сопротивление любому колебательному движению с частотой со в сечении С.
2.6. Линейная теория распространения волн
153
2.6. Линейная теория распространения волн при постепенном изменении
физических характеристик жидкости и поперечного сечения
В разделах 2.3-2.5 описана линейная теория распространения продольных
волн в системах, состоящих из однородных отрезков наполненных жидкостью
труб или каналов, разделенных компактными элементами: сочленениями,
разветвлениями, полостями, сужениями. Все изменения свойств (как трубы
или канала, так и невозмущенной жидкости) происходили на ограниченном
пространстве, занимаемом этими компактными элементами, а не на
значительно более протяженных отрезках труб между ними.
Напротив, в этом разделе описываются (по-прежнему в рамках линейной
теории) эффекты постепенного изменения плотности и сжимаемости жидкости
или площади поперечного сечения и растяжимости вдоль некомпактного
участка трубы или канала. Показано, что распространение волн в них
регулируется настолько простым правилом, что оно позволяет
непосредственно обобщить ранее полученные результаты, вроде уравнения
(61), на системы, в которых разветвления разделяют участки с постепенным
изменением состава и поперечного сечения. Мы сначала поясним это простое
правило рядом грубых эвристических доводов с помощью результатов разд.
2.3, касающихся сочленений, а затем посредством более тонкого анализа,
основанного на уравнениях (3) и (4).
Эвристические доводы содержат грубое предположение о том, что участок
трубы с постепенным изменением состава и поперечного сечения может вести
себя как предельный случай аппроксимирующей "лестницы" (рис. 24),
состоящей из множества коротких однородных отрезков, разделенных
"ступенчатыми" компакт-
р >----- - _______________
3
Рис. 24. Постепенно расширяющаяся труба PQ, аппроксимированная
"лестницей" "ступенчатых" сочленений.
154
2. Одномерные волны в жидкостях
ными сочленениями, в каждом из которых отношение проводимостей Y2/Y 1
близко к 1 и, следовательно, доля отраженной энергии (50) действительно
очень мала. Переходя к пределу, мы получим, что энергия не отражается.
Этот предельный переход опирается на тот факт, что выражение (50) зависит
от квадрата относительного изменения проводимости, т. е. квадрата бYIY
или б (In Y). Действительно, доля отраженной энергии (50) всегда меньше
|(lnY2-ln Y,)*, (88)
что можно легко вывести, например, из теоремы о том, что среднее
арифметическое превосходит среднее геометрическое. Если соответственно
трубу PQ, где проводимость Y = И/(рс) изменяется, скажем, монотонно от YP
до Yq, аппроксимировать с помощью п труб неодинаковой длины, в каждой из
которых In Y претерпевает одно и то же малое изменение и-1 (InYQ - - In
Yp), то можно сказать, что доля потока энергии, которую
волна, бегущая от Р к Q, потеряет за счет отражения на любом
сочленении, равна самое большее
п~г (In Yq - In YP)2. (89)
Это в свою очередь не больше, чем эта же доля (89) начального потока
энергии, который втекает в трубу в Р. Следовательно, отношение потока
энергии в Q к потоку энергии в Р по крайней мере не меньше
1 -? n~i (In Yq - In YP)2, (90)
так как доля потерь при отражении на п сочленениях самое большее есть п,
