Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в выражении, подобном (59). Действительно, величина Y(,f, представляющая
собой отношение объемного расхода
2.6. Линейная теория распространения волн
157
в А к избыточному давлению (причем последнее берется как сумма (91) и
(92)), принимает вид
¦yeff _ уА f - g(f - 1/сАц)_ ,qr,
f(t + l/cAB) + g(t-l,cAB) '
где Y? - проводимость Y (-l) трубы АВ в точке A, a cAB - средняя скорость
волны вдоль АВ, определенная выражением
о
1/Сав= j c~l dx. (96)
-1
С другой стороны, уравнение (55), позволяющее найти отношение отраженной
волны g (t) к падающей волне / (t) при х = О (разветвление В), применимо,
если в этом уравнении вместо Yx взять проводимость У(r) = Y (0) трубы АВ в
В. Соответственно рассуждения, приводящие к уравнению (61), теперь дают
немного измененное уравнение
N
(2 Yn) + tgM/CAB)
Y? = Y*-?=Z jf----------------------, (97)
(2 Yn)tg(wJ/cAB) n=2
которое можно столь же просто использовать для расчета свойств ветвящихся
систем из труб с постепенно меняющимися свойствами, как уравнение (61) -
для расчета систем из однородных труб. Например, прежнее условие
резонанса (длина трубы равна четверти длины волны) превратится в условие
со 1/сАВ = = (1/2) л, а резонансное значение эффективной проводимости в
N
А (заменяющее (63)) будет даваться выражением Уп)-
п-2,
Однако остается вопрос: насколько постепенно должны изменяться поперечное
сечение и свойства жидкости, чтобы правило постоянства потока энергии
(91) было хорошим приближением? Все приведенные выше примеры полезности
этого правила показывают необходимость ответить на указанный вопрос.
Однако использованные грубые рассуждения не слишком помогают это сделать;
они лишь подсказывают, что изменения проводимости должны быть достаточно
постепенными, чтобы их можно было рассматривать как последовательность
очень малых изменений (возможно, они должны быть рассредоточены по
некомпактной области, поскольку существенное изменение внутри компактной
области, как было показано в разд. 2.2, предполагает непрерывность
объемного расхода и избыточного давления, а не потока волновой энергии).
15S 2. Одномерные волны в жидкостях
Мы должны вернуться назад, к полным уравнениям для продольных волн (2),
(3) и (4), чтобы получить точный количественный ответ. Уравнение (2)
напоминает нам, что при неоднородности свойств в отсутствие возмущений
как р, так и А зависят, кроме ре, также от других переменных (S и х
соответственно). Однако уравнение (10) по-прежнему можно использовать для
определения локальной скорости волны с, если считать, что оно означает
следующее:
рДс-2 = K-\-D= [р-1 (др/дре) + А'1 (дА/дре)]Ре=о, (98)
где две частные производные вычислены при постоянных S и х
соответственно. Величина р0 (х) есть значение плотности р, когда ре = 0 и
S принимает свое локальное невозмущенное значение.
Теперь, так как продольные волны без диссипации удовлетворяют уравнению
dS/dt + и dS/dx = 0, (99)
выражающему сохранение энтропии для частицы жидкости, определение К (98)
дает
р-1 (dpldt + идр/дх) = Kdpjdt, (100)
где в линейной теории член Kudpjdt в правой части может быть опущен как
произведение возмущений относительно состояния равновесия и = 0, ре = 0.
Дифференцируя площадь поперечного сечения А при постоянном х, получаем
А -1 dAldt = D dpjdt. (101)
Следовательно, уравнение неразрывности (4), которое может быть записано
как
р-1 (dpldt + идр/дх) + A-1 [dA/dt + д(Аи)/дх] = 0, (102)
в линейной теории принимает вид
(К + D) dpjdt + A-^diA^/dx = 0, (103)
что дает с помощью (98) уравнение
dpjdt = -рос2А~1д(А0и)1дх = -cY~x dJ!dx, (104)
где J = А0и - линеаризованный объемный расход и Y (х) = = А0/(р0с) -
проводимость. Но уравнение количества движения (3) в линеаризованной
форме может быть записано как
dJ/dt = -(А 0/р0) dpjdx = -cY dpjdx. (105)
2.6. Линейная теория распространения волн
159
Исключая J из (104) и (105), получаем
d2pjdt2 = cY~x (dldx) (cY dpjdx)
(106)
- модифицированную форму уравнения (8), когда с и У - функции х.
Это точное линейное уравнение (106) для продольных волн не имеет простого
точного решения, однако степень неточности простого выражения вроде (91)
может быть оценена через величину погрешности, с которой оно
удовлетворяет (106). Результат подстановки (91) в правую часть (106)
оказывается равным
[У(*)/У(0)Г1/2{/ (*- [ с-1 dx^ -~cY~x/2 (сУ-1/2У')' X
в то время как подстановка (91) в левую часть дает, очевидно, то же самое
выражение, но в фигурных скобках сохраняется только первый член. Если со2
есть отношение характерных значений / к /, то относительную ошибку
(отношение второго члена к этому первому члену), расписав производную
(сУ_1/2У')', можно оценить как
Если относительные скорости изменения с и У, а также У', которые входят
здесь в квадратные скобки, все малы по сравнению с со/с = 2л/%, то
искомая ошибка будет малой величиной порядка квадрата этих относительных
величин. Такое условие высокой точности обсуждаемого правила имеет тот же
тип, что и ожидалось на основании рассмотренного в гл. 1 приближения
