Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
V-u = 0 для течений с постоянной плотностью и что полная сила,
действующая на единицу объема каждого жидкого элемента,
-dpjdx -f pd2u/dz2 (120)
направлена строго по оси тине зависит от х и у и поэтому может порождать
только ^-составляющую количества движения, величина которой не зависит от
ж и у. Приравняв эту силу (120) плотности, умноженной на ускорение, т. е.
р du/dt (121)
(где любое конвективное ускорение тождественно равно нулю, потому что и
не зависит от х), получим уравнение второго порядка "диффузионного" типа
с коэффициентом диффузии (117) - уравнение, подходящее для согласования
условий
и = 0 при z - 0 (122)
на твердой стенке с невозмущенным состоянием движения, наблюдаемым при
больших положительных z.
Хотя полученное таким образом уравнение легко решить для любой
зависимости dpjdx от времени вблизи нулевого значения, но соответствующие
выводы (как и прочие в этой главе) можно выразить наиболее ясно с помощью
той формы, которую они принимают, когда dpjdx пропорционально ехр (iat),
как предполагалось вначале; другие зависимости можно исследовать затем
методом Фурье. При этих обстоятельствах скорость и, определяемая
приравниванием выражений (120) и (121), также изменяется как ехр (?со?) и
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными
коэффициентами
р d2u/dz2 - picou = dpjdx. (123)
Его решение, удовлетворяющее граничному условию (122), имеет вид
и = (pica)-1 {-dpjdx) {1 - ехр [- z (ico/v)1/2]}, (124)
2.7. Ослабление волны за счет трения
165
где может присутствовать экспонента от минус z (tco/v)1/2, так как при
больших положительных z этот член становится пренебрежимо малым и,
следовательно, решение (124) стремится к внешнему-безвихревому решению
иех = (ргсо)-1 {-dpjdx), (125)
однако никакой член, содержащий со знаком плюс в показателе экспоненты
эту величину z (i co/v)1/2, имеющую положительную действительную часть,
не может присутствовать в решении, потому что его величина будет
неограниченно возрастать при z -> оо.
Множитель в фигурных скобках в (124), которым, как обнаружил Стокс,
решение внутри пограничного слоя отличается от колебательного
безвихревого решения (125), изображен как функцияz (co/v)1/2 на рис. 25.
Его действительная часть (сплошная линия) описывает колебания скорости,
синфазные колебаниям внешнего течения: заметим, что эта величина меньше 1
во внутренней части пограничного слоя, где
z (co/v)1'2 < 2,2,
но слегка превосходит 1 (не более чем на 7%) во Енешней его части.
Толщину пограничного слоя можно произвольно определить выражением
5 (v/co)1/2 (126)
как толщину слоя, вне которого эта действительная части отличается от 1
не более чем на 3%; множитель 5 в (126) уменьшился бы примерно до 2, если
допустимое отклонение увеличить до 7% (при этом внешняя часть слоя
окажется исключенной).
Тем не менее толщина пограничного слоя, как бы ни была она определена,
изменяется как (v/co)1/2, что ясно из равенства (124) и что можно ожидать
по тем соображениям, что твердая граница генерирует завихренность,
которая диффундирует от нее (см. (117)) с коэффициентом диффузии v на
расстояние порядка (v/co)1/2 за время порядка 1/со, связанное с периодом
колебания напряженности источника завихренности. Действительно, можно
показать, что значение этой напряженности источника завихренности на
плоской стенке есть (-dpjdx), а по фазе она опережает на 90° фазу
внешнего безвихревого движения (125) и, следовательно, фазу движения,
представленного сплошной линией на рис. 25. Завихренность, представляемая
производной от этой сплошной линии, соответственно максимальна около
стенки, где она генерируется с положительным знаком за полупериод, но
падает до малых отрицательных значений в области z (co/v)1/2 > 3,3, где
все еще преобладает влия-
166
2. Одномерные волны в жидкостях
z(a>/v)'/2
Рис. 25. Пограничный слой Стокса: колебательное движение, параллельное
твердой стенке, видоизменено на малых расстояниях z от стенки за счет
множителя, содержащегося в фигурных скобках в уравнении (124),
действительная и мнимая части которого изображены соответственно сплошной
линией (с асимптотой 1, пунктирная линия) и штриховой линией.
ние завихренности противоположного знака, выработанной в течение
предыдущего полупериода.
Штриховая линия на рис. 25, будучи мнимой частью множителя в фигурных
скобках из (124), представляет собой часть индуцированной внешним
решением (125) скорости в пограничном слое, находящуюся в фазе с силой
давления (-dpjdx). Такая синфазная силе составляющая скорости может
возникнуть там, где сила уравновешена вязким сопротивлением, зависящим от
мгновенной скорости, а не "реактивной" (зависящей от ускорения) силой
инерции, которая вызывает отставание по фазе на 90° в (125).
Соответствующая завихренность (производная от штриховой линии), находясь
в фазе с напряженностью источника завихренности, положительна вблизи
стенки, где она генерируется с положительным знаком в течение четверти
