Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
2.13 нелинейного распространения волн в трубах или каналах с постепенно
меняющимися физическими характеристиками жидкости и поперечным сечением;
это описание будет в разд.
2.14 применено к нелинейному распространению вдоль трубок лучей
геометрической акустики. Изложение дальнейшего развития нелинейной теории
будет затем отложено до эпилога.
Далее мы рассмотрим волну с произвольной амплитудой и формой, которая
является "плоской".в том смысле, что все движение жидкости происходит,
скажем, в направлении х, причем ^-составляющая скорости и, давление р и
плотность р зависят только от а: и времени 1; мы предположим также, что
диссипативными процессами можно пренебречь, так что энтропия на единицу
массы S, которая первоначально берется однородной, сохраняется однородной
и постоянной. Тогда возникает вопрос, можно ли предсказать развитие такой
плоской волны с произвольной амплитудой в отсутствие диссипации при
помощи простых физических соображений, предполагая только знание линейной
акустики.
Разумно попытаться ответить на него, заметив, что для любого частного
положения х = хг и времени t = должны существовать некоторый
пространственный интервал около х = xi и некоторый временной интервал
около t = fi, оба настолько малые, что для х и t, принадлежащих этим
интервалам, соответствующие возмущения и и р относительно значений и1 и
ри которые они имеют в (хи гД, остаются достаточно малыми, чтобы линейная
теория правильно описывала их поведение. Возможен случай, когда ^-
составляющая скорости и описывается малыми возмущениями от ненулевого
значения иъ а не от нуля, как предполагалось в линейной теории, развитой
в гл. 1 и 2. Если, однако, мы исследуем возмущения в указанных интервалах
относительно специальной системы отсчета, движущейся с постоянной
скоростью Uj, причем местоположение в ней определяется новой
пространственной координатой
х - иД, (145)
то скорость в этой системе будет равна и - up, в рассматриваемых
интервалах эта величина везде остается малой (совсем как в линейной
теории).
В то же время мы должны приписать скорости звука с на интервале частное
"локальное" значение с1 для этих малых возмущений давления р относительно
его значения рг в (хг, 7Д.
2.8, Нелинейная теория плоских волн
175
При заданной постоянной энтропии S значение плотности р = pi
соответствует р = рх, а с\ есть производная др/др, взятая при постоянной
S (разд. 1.2) и вычисленная при р = = Ръ Р - Pi- Она возрастает при
возрастании рг (и, следовательно, при постоянной S также при росте
температуры).
Теперь линейная теория звука дает для малого возмущения давления р - рг,
а также для скорости жидкости и - иг в системе отсчета, в которой
пространственной координатой является х-Uxt, общее решение в виде плоской
волны (разд. 1.1)
р - Pi = / (х - upt - сxt) + g (х - uit + Cit), (146)
" - U! = (PiГа)-1/ (X - U^ - Cit) - (piC^-'g (X - Uit + Cit), (147)
справедливое на тех интервалах, где эти величины, которые мы будем
записывать как бр и б и соответственно, остаются огень малыми. Отсюда
следует, что на этих малых интервалах
6u + (piCi)~^p есть функция только х - (их + о) t (148)
и аналогично
6u- (р^^бр есть функция только х - (щ - ct)t. (149)
В методе, существенно увеличивающем ценность этих результатов,
используется интеграл, форму которого они подсказывают, а именно
j (pc)~tdp = P(p), (150)
Ро
где ро - некоторое давление, взятое в качестве базисного, например
начальное давление жидкости до появления плоской волны. Очевидно, при
очень малом отклонении бр от р = рi
бР = P'(pi) бр = (рiCi)-4p. (151)
Величину, стоящую слева в утверждении (148), можно, следовательно,
записать как соответствующее очень малое отклонение б (и + Р) величины и
+ Р (р) в малой окрестности точки {хг, ti) от ее значения в этой точке.
Внутри этой малой окрестности указанное утверждение означает, что
б (и + Р) = 0, когда 8х - (иг + щ) бt = 0, (152)
где 8х и 8t - малые отклонения а; и ? от их значений Х\ и tx. Это следует
из того, что б (u + Р) является функцией только х -<- (ui + сг) f, но она
равна нулю в (хг, ti) и, следовательно, также во всех точках (х, t), в
которых х - (uj + Cj) t имеет то же самое значение, что и в точке \хг,
ti).
176
2. Одномерные волны в жидкостях
Уравнение (152) означает, что мы рассматриваем некоторую пространственно-
временную кривую С+, во всех точках которой выполнено дифференциальное
соотношение
dx = (и + с) dt вдоль С+. (153)
Очевидно, что С + является траекторией точки, которая всегда движется
вперед с локальной волновой скоростью с в системе отсчета, движущейся
вместе с жидкостью с локальной скоростью и. Уравнение (152)
устанавливает, что вдоль такой кривой С+, проходящей через (хх, t^),
величина и + Р является стационарной и равной ее значению в точке (хх,
tx); это замечательный результат, потому что, как показывает (150),
величина и + Р (р) определена совершенно независимо от выбора точки {хх,
fi); поэтому все приведенные рассуждения применимы к малой окрестности
