Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
его центра инерции. В формуле (119) мы использовали обстоятельство, уже
отмеченное в разд. 1.8: напряженность
диполя F + p0FU в случае (ii) обращается в нуль потому, что для массы
жидкости p0F, замещающей тело в этом случае, выполняется закон Ньютона.
Вычислим теперь напряженности (118) и (119) для сферического тела и
вкратце укажем, как можно распространить эти вычисления на случай тел
более общей формы.
Рассмотрим постороннее тело (твердое, жидкое или газообразное), в
невозмущенном состоянии являющееся сферой радиуса ад и погруженное в
однородную жидкость, по которой распространяются звуковые волны частоты
со, удовлетворяющей условию компактности
т0/с <С 1. (120)
Это означает, что "падающая волна", определенная в случае (ii),
пренебрежимо мало меняется по фазе во всем сферическом объеме жидкости,
вытесненной телом: если в центре объема давление в падающей волне равно
Р - Ро = Pieiat (121)
(подразумевается конечно, что в таком комплексном выражении для реальных
величин берется действительная часть), то во всем этом объеме давление
будет приближенно таким же. В результате изменение полного объема сферы
F, занимаемой жидкостью в случае (ii), по сравнению с его невозмущенным
значением
П = (122)
72
1. Звуковые волны
составит
(У - У0)п= -У о [(р - Ро)/Ро] = - Уо[{Р - Ро)И РоС2)] =
= -M/V(PoC2))eiffli. (123)
Здесь было использовано соотношение (37) для связи изменений давления и
плотности при постоянной энтропии.
Соответствующее изменение объема самого тела в случае (i) вычисляется в
предположении, что реакция на равномерное изменение давления р6 на его
поверхности определяется средним значением сжимаемости тела К:
(F-F0)i=-F0^(ps-p0). (124)
Здесь К - относительное уменьшение объема при единичном изменении
давления на поверхности. Соотношение (123) показывает, что для жидкостей
К = р^с-2, так что если нашим посторонним телом является пузырек газа,
подобный рассматривавшемуся в разд. 1.6, то мы должны положить
К = 9Цс1*. (125)
В то же время для однородного твердого тела К представляет собой
величину, обратную модулю всестороннего сжатия материала тела.
В случае (i) давление на поверхности ps складывается из
давления, обусловленного падающей волной (оно дается фор-
мулой (121)), и давления, обусловленного точечным источником
с напряженностью q, помещенным в центре сферы:
Р" - р0 = Pleiat + q(t)/(ztnaQ). (126)
Здесь учтено, что в выражении (71) для обусловленного точечным источником
избыточного давления при г = а0 можно пренебречь отличием t - а0с от t в
силу условия компактности (120). (Таким образом, для представления
искомого решения волнового уравнения мы локально используем решение (67)
уравнения Лапласа.) Какое-либо влияние дипольного распределения
избыточного давления в формуле (126) можно не учитывать, так как его
среднее значение на поверхности сферы равно нулю; действительно, это
распределение порождает только движение тела как целого.
Значение (V - F0)j, определяемое формулами (124) и (126), и значение (V -
К0)ц, определяемое формулой (123), надо теперь подставить в соотношение
(118), чтобы получить дифференциальное уравнение для напряженности
источника q:
q = p0F0К [pjco2eia>t - q /(4ла0)] - p0F0 [pj(p0c2)]aze^t, (127)
1.9. Рассеяние на компактных телах
73
где два члена в правой части соответствуют двум членам в соотношении
(118). Уравнение (127) является уравнением вынужденных колебаний системы
с собственной частотой
[4na0/(p0F0Z)]V2. (128)
Заметим, что в случае пузырька формулы (125) для К и (122) для F0
приводят к выражению для резонансной частоты, идентичному выражению
(109), полученному совершенно другим методом. Решением уравнения (127)
будет
g= [1 -poFoKco^na,,)]-1^ -p'c^poFoPiCoV(r)*. (129)
Здесь первый множитель указывает на резонанс при совпадении частоты (о
падающего звука с собственной частотой (128). Как и в случае других
резонансных систем, от особенности при этом значении со можно избавиться
только тогда, когда мы учтем затухание (в случае пузырька, как было
указано в разд. 1.6, частично обеспечиваемое влиянием теплопроводности).
Второй множитель в формуле (129) подтверждает, что если средняя
сжимаемость тела К равна сжимаемости жидкости, то рассеяние на точечном
источнике не имеет места.
Для тел с малой сжимаемостью формула (129) дает картину слабого поля
точечного источника из-за появления множителя (со/с)2 в случае К ->-0.
Наоборот, для посторонних тел с большей сжимаемостью, включая пузырьки,
напряженность рассеяния на монополе образует мощный пик при резонансной
частоте (128).
Приведенное обоснование остается в силе и в случае, когда флуктуации
давления в падающей волне отвечают некоторому "дальнему полю" породившего
его источника, которое в действительности представляет собой плоскую
волну в масштабах размера тела а0, и в случае, когда они соответствуют
ближнему полю. В обсуждении, проведенном после формулы (110),
подчеркивалось, что пузырьки могут вызвать резонансный отклик точечного
