Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
приемника в точке х. Полученное таким образом решение (155) неоднородного
волнового уравнения (154) совпадает с теми решениями, к которым приводят
классические математические рассуждения (см. литературу по волновому
уравнению); это является проверкой теории данной главы.
Рассмотрим далее звук, который генерируется без возникновения новой массы
жидкости, а просто под действием распределенных внешних сил /г на единицу
объема жидкости. Тогда уравнение неразрывности принимает обычный вид
(143), а в правую часть уравнения для скорости изменения количества дви-
1.10. Излучение квадруполя
83
даения на единицу объема требуется ввести член выражающий приложенную
силу; таким образом, линеаризованное уравнение количества движения (148)
запишется в виде
д (рUi)/dt + c2dp/dxt = fi (157)
и после исключения ри, из уравнений (157) и (143) получится уравнение
д2р Idt2 - с2д2р!дх\ = -dfjdxi, (158)
которое представляет собой линейное волновое уравнение с вынуждающим
членом -dfjdxi в правой части.
Этот результат также служит проверкой теории данной главы. Согласно разд.
1.5, звуковое поле, генерируемое таким распределением внешних сил ft на
единицу объема, должно быть распределением полей диполей напряженности /г
на единицу объема. На первый взгляд из сопоставления уравнений (158) и
(154) следует другой вывод, а именно что указанное звуковое поле
представляет собой распределение полей точечных источников напряженности
-dfjdxi на единицу объема. Можно показать, однако, что эти два описания
всегда одинаковы.
В самом деле, поле источника с напряженностью -dfjdx1 на единицу объема
(одно из трех слагаемых суммы -dfjdxi) является предельным случаем при е
-0 поля напряженности на единицу объема
e_1/i (*i, х2, х3) - е-1/! (*1 + е, х2, х3). (159)
Это соответствует размещению каждой отдельной величины e-1/i со знаком
"плюс" в точке хъ х2, х3 и со знаком "минус" в точке (хг - е, хг, хд),
где второй член в (159) имеет то же численное значение. Комбинация таких
двух величин, согласно разд. 1.5, представляет собой диполь с
напряженностью (/1; 0, 0) на единицу объема. Проведя подобные рассуждения
для i = 2 и i = 3, мы видим, что распределение источников с
напряженностью на единицу объема -dftldxt, как и следовало ожидать,
эквивалентно распределению диполей с напряженностью на единицу объема
fi = (Л, / 2, /з)- (160)
Первое из этих двух эквивалентных представлений звукового поля,
обусловленного распределенными источниками, является практически
бесполезным: это распределение источников имеет суммарную нулевую
напряженность (согласно теореме Остроградского - Гаусса, интеграл от
dfl!dxl по объему всей области источников равен нулю), так что свойства
такого распределения, рассмотренные в разд. 1.7, позволяют в любом
84
1. Звуковые волны
случае ожидать появление представлений посредством диполей. Последнее
представление, наоборот, позволяет построить решение для (159) в виде
объемного распределения полей диполей, задаваемых уравнением (102); это
решение получается в виде
с2 [р (х) - р0] = - (d/dxi) f [fi (у, t - r/c)/(4nr)]dy, (161)
в точности совпадающем с полученной ранее формулой (155). Далее на
основании формулы (103) можно записать вид этого выражения для дальнего
поля, соответствующий его диполь-ному характеру, как
с2[р(х) - р"] = [ [rji (у, t - r/c)/(4nr)]dy, (162)
где Г; = х( - /уЕ-. В случае представления точечными источниками такая
форма записи совсем не очевидна как приближенное выражение для дальнего
поля.
Дальнейшей проверкой полученных выражений служит следующий факт: в силу
того что интеграл (155) удовлетворяет уравнению (154), интеграл в правой
части (161) является решением линейного волнового уравнения с /г в правой
части. Следовательно, выражение (161), которое представляет собой
производную -dldxi от упомянутого интеграла, удовлетворяет тому же самому
линейному уравнению с правой частью -бdfj/dXj, которая в самом деле
совпадает с правой частью уравнения (158). Математически этот вывод
справедлив, поскольку линейный волновой оператор d2/dt2 - с2д2/дх? и
оператор d/dxt перестановочны.
Только что описанные гипотетические распределенные источники и диполи,
возможно, и нельзя непосредственно использовать, но полученные результаты
подсказывают, как практически работать с важным уравнением (152) для
звука, генерируемого турбулентным потоком. Так же как первая производная
в правой части уравнения (158) свидетельствует о том, что при этом
излучение имеет вид излучения диполя с напряженностью fi на единицу
объема, вторая производная в правой части уравнения (152) определяет
излучение вида излучения квадруполя с напряженностью Т;j- на единицу
объема.
Действительно, полученные выше результаты для диполя показывают, что
решение уравнения (152) представляет собой диполь с напряженностью -
dTtjldXj на единицу объема, а именно диполь, соответствующий "эффективной
силе", которая в уравнении количества движения (151) показывает, каким
