Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
источника на флуктуации давления в ближнем поле диполя и усилить
излучаемый звук. Формула (129) дает количественную оценку напряженности
точечного источника, приведенного в действие этим механизмом.
Если мы вычислим напряженность диполя G для поля рассеянного звука тем же
способом, что и напряженность источника, то мы не получим резонанса.
Предположим, что поле скоростей и падающей волны в центре сферического
объема жидкости, вытесненной телом, имеет вид
и =
(130)
74
1. Звуковые волны
Заметим, что для бегущей плоской волны (или в более общем случае для
дальнего поля) в силу формулы (22) или (81) вектор их должен иметь
абсолютную величину Pi/(p0c0)- Однако мы не ограничимся этими случаями.
Исходя из формулы (119), мы должны вычислить в случае (i) скорость U
центра инерции тела (по предположению совпадающего с его центром масс) и
силу F, с которой оно действует на жидкость. Мы найдем их из двух
уравнений, которым они должны удовлетворять. Во-первых, если тело имеет
массу ртП0, так что его средняя плотность равна рт, то его движение будет
описываться уравнением
pmF0U=-F. (131)
Во-вторых, сила F должна быть связана с присоединенной массой
сферического тела, которая, согласно формуле (114), составляет
Mv = ~ p0V0. (132)
При обсуждении присоединенной массы, проведенном перед формулой (114) для
тела, движущегося в покоящейся жидкости, устанавливалась связь между этой
массой и силой. Чтобы применить результаты этого обсуждения к
рассматриваемому случаю, в котором тело погружено в жидкость,
движущуюся
со скоростью (130), мы должны временно перейти в
систему от-
счета, движущуюся с этой скоростью.
В такой системе отсчета, совершающей прямолинейное ускоренное движение, в
уравнение движения любой частицы (имеющей по предположению массу М)
наряду с другими силами будет входить сила инерции
-М iccu^*10*. (133)
Это известное свойство движущихся систем отсчета означает только то, что
сумма остальных сил равна произведению массы частицы на ее полное
ускорение, которое равно произведению этой массы на ускорение в
движущейся системе отсчета плюс произведение массы на ускорение самой
системы. Последний член, перенесенный с изменением знака в другую часть
уравнения, к силам, становится эффективной силой инерции (133). Для
частиц жидкости с плотностью р0 величина этой силы на единицу объема
будет
-p0i(ouiCit0*. (134)
В жидкости любое такое однородное поле силы на единицу объема (например,
поле силы тяжести) автоматически уравновешивается распределением давления
с постоянным градиентом.
J.9. Рассеяние на компактных телах
75
Градиент давления равен такой силе на единицу объема, определяемой здесь
выраж;- ием (134). Заметим, что эта величина может быть получена др\ гим
способом из линеаризованного уравнения количества движения (4). Теперь
закон Архимеда дает окончательное выражение для такого распределения
давления по телу объема Т". Оно представляется в виде
РоУоШще'(r)* (135)
и имеет величину, необходимую для уравновешивания силы, которая
действовала бы на жидкость, вытесненную телом, при отсутствии последнего.
Кроме того, что в результате появления сил инерции тело действует на
жидкость с силой, определяемой выражением (135) со знаком минус, оно в
результате движения относительно окружающей его жидкости (которая в нашей
системе отсчета покоится) со скоростью
U - ще(tm) (136)
сообщает ей за единицу времени количество движения
Mv (dldt) (U - ще^). (137)
Следовательно, полная сила F, с которой тело действует на жидкость, будет
F = -poFoicouje^4 + Мv (U-?а>и,е*т{). (138)
Вместе с равенствами (131) и (132) это дает
F= _F _Ё?оЛп_^ ia< U= (139)
0 Po + 2pm 1 Po + 2pm 1 v >
откуда в силу формулы (119) для напряженности диполя получаем
G = y Зр^^-рт)4 1Ш|_ (140)
Роч ^Рт
Поле рассеянного звука складывается из поля источника с напряженностью
(129) и поля диполя с напряженностью (140).
Из уравнения (140) видно, что напряженность диполя становится нулевой,
когда средняя плотность сферы рт равна плотности р0, что было очевидно
уже из формул (119) и (131). Другим интересным частным случаем является
случай рассеяния неподвижной сферой: его можно описать как предельный
случай сферы, плотность которой рт стремится к бесконечности, так что
ускорение ее в силу формул (139) равно нулю, что вполне естественно. В
этом случае напряженность диполя (140) имеет ненулевой предел.
76
1. Звуковые вол иы
В приведенном выше обсуждении рассеяния на теле со средней плотностью рт,
отличной от плотности жидкости ро, ничего не было сказано о влиянии силы
тяжести, если она учитывается,
т. е. об обусловленных ею вкладах в ускорение тела U и в силу F действия
тела на жидкость. Однако такие вклады носят стационарный, а не
колебательный характер и поэтому не генерируют рассеянного звука частоты
со и, действительно, не создают дальнего поля диполя (103). Влияние
движения тела под действием силы тяжести на акустическое дальнее поле
сводится только к тому, что оно становится полем движущегося источника
