Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
напряженность (111) одного диполя, эквивалентного группе источников,
можно рассматривать как момент напряженностей источников относительно
центральной точки; заметим, однако, что, поскольку суммарная
напряженность источников равна нулю, величина (111) не зависит от выбора
положения центральной точки.
Таким образом, компактная группа источников, изображенная на рис. 6,
ведет себя подобно одному источнику с напряженностью, равной сумме их
напряженностей, если последняя не мала; если же эта сумма равна нулю, то
такая группа источников ведет себя подобно одному диполю с
напряженностью, равной моменту напряженностей источников. В промежуточном
случае, когда сумма напряженностей мала, но отлична от нуля, по-видимому,
требуется представление, составленное путем комбинации точечного
источника, расположенного в центральной точке, и диполя с напряженностью
(111); при этом результирующие давления будут, возможно, сравнимыми даже
в дальнем поле. Заметим также, что могут возникать и другие усложнения,
включающие понятие "квадруполя" (см. разд. 1.10), если момент (111) равен
нулю или мало отличается от нуля.
В разд. 1.6 мы видели, что реальные акустические области приходится
представлять в виде комбинации точечных источников, описывающих локальные
скорости изменения массового расхода жидкости, и диполей, описывающих
приложенные к жидкости внешние силы. В случае когда суммарная
напряженность точечных источников равна нулю, они в соответствии с
изложенным выше создают поле давления, близкое к полю давления одного
диполя с напряженностью (111), расположенного в центральной точке. Тогда
суммарное поле давления на расстояниях, больших по сравнению с диаметром
области источников, равно полю давления от этого центрального диполя плюс
поля давления от всех диполей, представляющих внешние силы.
Последние не обязательно должны быть расположены в центральной точке, но
если считать, что они смещены в нее, то вносимая при этом ошибка, вообще
говоря, очень мала; это означает, как и прежде, что поля всех диполей
можно сложить и получить поле одного диполя с напряженностью, равной
векторной сумме напряженностей каждого из диполей. Ошибка при смещении
каждого отдельного диполя будет мала, если область акустически компактна,
поскольку изменение времени задержки г/с в выражении (102) приводит к
малым изменениям соответст-
56
1. Звуковые волны
вующей величины G, причем изменения множителя сферического затухания
(4яг)-1 также малы. (Более точные утверждения об ошибке можно сделать,
пользуясь понятием квадруполя, которое будет введено в разд. 1.10.)
Следовательно, мы можем считать ошибку, получающуюся при использовании
суммы полей смещенных диполей, малой (с обычной оговоркой, что при
суммировании напряженностей диполей не происходит почти полного
уничтожения слагаемых).
Напряженность поля одного диполя, которому эквивалентна целая компактная
область источников на расстояниях, больших по сравнению с ее диаметром,
тогда равна векторной сумме: (i) всех напряженностей диполей, которые
представляют действующие на жидкость внешние силы (эта сумма, очевидно,
равна результирующей всех этих сил), и (ii) поправки (111), равной
моменту скоростей изменения массовых расходов. Физическую интерпретацию
напряженности диполя при помощи внешних сил можно представить следующим
образом: один-единственный диполь, которому эквивалентна целая сложная
область источников, будет всегда иметь напряженность, равную
результирующей всех внешних сил, действующих на жидкость; однако
необходимо ввести поправку (111), равную моменту всех напряженностей
точечных источников (сумма которых предполагается равной нулю), и в
некоторых случаях она может быть очень важной.
Мы видели в разд. 1.6, что движение постороннего тела в жидкости создает
акустические эффекты, эквивалентные непрерывному распределению: (i)
источников, связанных с перемещением поверхности тела в направлении
внешней нормали, и (ii) диполей, связанных с силой, с которой эта
поверхность действует на жидкость. Суммарная напряженность источников
равна
p0F (t), где V (t) - объем тела, и поэтому случай нулевой суммарной
напряженности источников, который нами рассматривается, соответствует
весьма распространенному случаю, когда объем V тела практически
постоянен. В этом важном случае, однако, момент распределенных
источников, вообще говоря, не равен нулю. Этот момент распределенных
скоростей перемещения объема может быть связан со скоростью центра
инерции тела (см. ниже), а будучи умноженным на р0 и
продифференцированным по времени, он превращается в момент скорости
изменения массового расхода.
Центр инерции тела определяется как точка, в которой находился бы центр
масс, если бы плотность была постоянной, так что его радиус-вектор гс
равен моменту распределенных объемов тела, деленному на полный объем V.
Отсюда следует, что
1.7. Компактные области источников с диполъными дальними полями 57
