Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
через поверхность, ограничивающую этот объем.
Преобразование уравнений движения жидкости к специальному виду (143) и
(147) дает возможность получить оценку для звука, генерируемого
турбулентными течениями жидкости, которая следует из установления точного
соответствия динамики жидкости и линейной теории звука. В линейной теории
член в квадратных скобках в уравнении (147) принимает значение •с2 (р -
р0) 8tj, так как связь между давлением и плотностью является линейной в
силу соотношений (11) и (14) и отбрасывания малых величин вида upUj.
Уравнения движения жидкости при такой аппроксимации тензора
полного потока
количества движения сводится к линейному волновому уравнению для р, т. е.
из (147) имеем
д (рUi)/dt + c2dp/dXi = 0, (148)
а исключив плотность количества движения рцг (для этого из производной
d/dt от уравнения (143) надо вычесть производную d!dxt от (148)), получим
линейное волновое уравнение
d2pldt2 - с2д2р/дх\ = 0. (149)
При отсутствии действия на жидкость посторонних тел, погруженных в нее,
это уравнение не будет давать излучения звука.
1.10. Излучение квадруполя
81
Таким образом, излучение звука потоком жидкости полностью обусловлено
отклонением значения полного потока количества движения (член в
квадратных скобках (147)) от его приближенного значения с2 (р - р0)
даваемого линейной теорией. Если записать это отклонение как
Тц = puiUj + [(р - р0) - с2 (р - р0)] 8и, (150)
то становится ясным, что избыточное значение потока количества движения
по сравнению с величиной, даваемой линейной теорией, описывается
квадратичными членами и членами более высокого порядка малости,
обусловленными как наличием малых величин вида utUj, так и нелинейностью
связи давления с плотностью. С учетом обозначения (150) уравпение
количества движения (147) можно переписать в виде
д (put)/dt + с2др1дхг = -dTijldXj (151)
и после исключения рut с помощью этого уравнения и уравнения
неразрывности (143) получить уравнение
д2р Idt2 - с2д2 р!дх\ = д2Т ij/dxidxj, (152)
которое представляет собой линейное уравнение (149) с "вынуждающим
членом" в правой части.
Этот "вынуждающий член" должен определять любое генерирование звука, т.
е. флуктуации плотности р, распространяющиеся от турбулентного потока.
Заметим, что величины Т можно считать пренебрежимо малыми вне области
течения, где имеют место только таким образом генерируемые звуковые
волны, для которых справедливы приближения линейной теории. Эти
приближения с пренебрежимо малыми Тц могут, однако, быть непригодными
внутри потока, который составляет, следовательно, ограниченную область
источника для генерируемого звука.
Уравнение (152) описывает распределенный источник звука. Мы можем
установить соответствие его звукового поля и звукового поля,
обусловленного изученными ранее механизмами генерирования звука
(скоростью изменения массового расхода, генерирующего поле монополя, или
силой, генерирующей поле диполя): и в то же время мы можем глубже понять
эти механизмы, выводя аналогичные уравнения для описания распределенных
монополя и диполя в линейной теории звука.
Гипотетическая идея распределения монопольных источников подразумевает
распределенное возникновение новой массы со скоростью Q на единицу объема
в единицу времени (как если бы точечные источники с массовым расходом q в
единицу времени были распределены по конечному объему таким образом,
6-01100
82
1. Звуковые волны
чтобы они давали такое возникновение массы на единицу объема в единицу
времени). В правую часть уравнения (143), выражающего скорость изменения
массы в элементарной области на единицу объема, требуется ввести член Q,
обусловленный таким возникновением массы, так что
dp/dt + d (рUi)/dXj = Q. (153)
Если теперь из этого уравнения и уравнения количества движения (148),
выведенного в линейной теории, исключить ри;, то получится
d2p/8t2 - c2dip/dxl = dQ/dt. (154)
Это линейное волновое уравнение (149) с напряженностью источника
(скорость изменения массового расхода) на единицу объема в правой части.
Иначе говоря, распределенные монопольные источники с напряженностью dQ/dt
на единицу объема создают поле плотности, удовлетворяющее линейному
волновому уравнению, содержащему в правой части эту напряженность на
единицу объема. Решение такого уравнения должно находиться как объемное
распределение полей источников, даваемых уравнением (71). Таким образом,
можно записать
с2[р(х) -р0]= [ [<?(у, t - г/с)/(4яг)] dy, (155)
где в левой части стоит соответствующая линейной теории величина р - р0 в
точке с радиусом-вектором х, а в правой - интеграл по всей области
распределенных источников. В точке у внутри этой области напряженность
источника на единицу
объема в момент времени t равна Q (у, t) (где Q означает dQ/dt), так что
в силу (71) генерируемый звук определяется величиной, стоящей в
квадратных скобках (снова на единицу объема), если
Г = I X - у I (156)
представляет собой расстояние от источника, расположенного в точке у, до
