Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
образом градиенты полного потока количества движения Тij через
1.10. Излучение квадруполя
85
Рис. 16. Соответствие между диагональными элементами тензора Тц и
продольным квадруполем (диполи расположены вдоль прямой), а также между
внедиагональными элементами этого тензора, и поперечным квадруполем
(диполи сдвинуты в перпендикулярном направлении).
элементарную область приводят к изменению количества движения вследствие
неравенства втекающего и вытекающего потоков. Кроме того, поле диполя с
напряженностью -дТц/дх1 на единицу объема (одно из трех слагаемых суммы)
является пределом при е -у 0 поля диполя с напряженностью на единицу
объема, равной
г~1тп (*i. *2i *з) - е-%1 (хг + е, х2, х3), (163)
которая, как показывают рассуждения, приведенные после уравнения (159),
эквивалентна распределению квадруполей на единицу объема, каждый из
которых определяется как сумма диполя с векторной напряженностью г~хТ п в
точке (х1: х2, х3) и диполя с напряженностью -в точке {хг - е, х2, хя).
Остальные элементы квадруполя Ttj соответствуют членам суммы с / = 2 и 3.
Такое определение показывает, каким образохм входят два направления в
напряженность квадруполя, соответственно являющуюся тензорной величиной.
Заметим, что диагональный элемент этого тензора, например Ти,
соответствует конфигурации диполей, расположенных вдоль прямой (рис. 16),
обычно называемой продольным квадруполем, тогда как внедиаго-нальный
элемент, например ТЛ2, соответствует конфигурации диполей, сдвинутых в
перпендикулярном направлении, называемой поперечным квадруполем.
Результаты, приведенные в данном разделе, показывают, что возмущение без
монопольного или диполыюго излучения, например струя без флуктуаций
массового расхода и при отсутствии внешних сил, действующих на жидкость,
по-видимому, будет включать главным образом квадрупольное излучение,
связанное с тензором избыточного потока количества движе-
86
1. Звуковые волны
ния Тtj. С этим связано чрезвычайно большое отношение интенсивности звука
ближнего поля к интенсивности звука дальнего поля, как это было
установлено экспериментально для турбулентных струй.
Соответствующим решением уравнения (152) является выражение
°2 [Р (х) - Ро] = (д2/дх1 dxj) ( [Ти(у, t - r/c)/(4nr)]dy, (164)
полученное просто как производная d2idxidxj от решения для лилейного
волнового уравнения с Т^ в правой части в соответствии с рассуждениями,
приведенными после уравнения (162). Соответствующее дальнее поле
представляется выражением
с2[р(х) - р0]= [ [rtr)Ti3{у, г - г/с)/(4лгзс2)] dy, (165)
в которое входит вторая производная по времени, получающаяся в результате
двукратного дифференцирования в (164) по времени запаздывания t - Не. При
увеличении скорости U струи флуктуации Тц, определяемые выражением (150),
увеличиваются как V2, а их характеристическая частота также
увеличивается как U, так что Тц в (165) увеличивается как f/4. Таким
образом, амплитуды дальнего поля меняются как С/4, в то время как
интенсивность и выходная мощность меняются как U8. Такая удивительная
зависимость акустической выходной мощности от столь высокой степени
скорости струи является прямым следствием квадруполъного характера
излучения.
В проведенных выше рассуждениях было использовано уравнение движения
жидкости (2) без учета вязких напряжений, но оказывается, что включение
последних дает малый дополнительный член в Т¦lj (см. разд. 1.13). Следует
отметить также, что условие акустической компактности (91), оказывается,
требует специальной формулировки для турбулентных течений: входящая в
него величина I представляет собой эффективный размер вихрей, излучающих
когерентно, а произведение сol, как правило, является величиной порядка
среднеквадратичной флуктуации скорости, которая обычно такова, что
условие компактности сос выполняется. Дальнейшее обсуждение этих и многих
других вопросов, касающихся излучения звука потоками жидкости, можно
найти в специальных монографиях и статьях.
1.11. Излучение от сфер
87
1.11. Излучение от сфер
При обсуждении генерирования звука до сих пор основное внимание уделялось
акустически компактным областям, которые (будучи, однако, сложными в
других отношениях) позволяют с хорошей степенью аппроксимации задавать
дальние доля при помощи довольно простых правил, например при помощи
уравнений (105) или (112). Во введении в теорию звука уместно главное
внимание уделять именно таким способам генерирования звука, которые
допускают сравнительно простое рассмотрение, но необходимо дать некоторое
представление и о поведении некомпактных областей источников.
Теории излучения от тел произвольной формы при отсутствии условия
компактности утрачивают ту относительную простоту, которая характерна для
разд. 1.6 и 1.7; они, действительно, чрезвычайно сложны. Тем не менее для
некоторых частных форм тела, включая сферическую, анализ значительно
упрощается и в то же время дает результаты, довольно типичные для
широкого диапазона форм тела. Цель данного раздела, посвященного
