Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
момент распределенной скорости перемещения точек тела равен скорости
изменения суммарного момента Vrc распределенных
объемов, т. е. Vrc, поскольку объем V постоянен. Следовательно, момент
распределенного массового расхода равен р0Сгс"
а момент распределенных напряженностей равен p0Frc.
Мы получили важный результат, гласящий, что каждое компактное тело
постоянного объема V, движущееся в жидкости плотности р0, создает на
расстояниях, больших по сравнению с его размерами, поле давления, близкое
к полю диполя напряженности
G = F + PoFU, (112)
где U = гс - скорость центра инерции, a F - результирующая сила, с
которой тело действует на жидкость; при этом надо оговориться, что такое
приближение портится, если слагаемые в (112) в значительной степени
взаимно уничтожаются. Эта теорема справедлива как в дальнем поле, где
определяется действительный излучаемый звук, так и в ближнем поле, где
она эквивалентна теореме, доказываемой для несжимаемой жидкости (в
которой опускается, однако, умножение на р0 и дифференцирование по
времени, вводимое в акустике в определения напряженностей источника и
диполя). Заметим, что поправку p0FU в (112) можно рассматривать как
скорость изменения количества движения "жидкости, вытесненной телом".
Как мы увидим далее, формула (112) является основной при количественной
оценке эффективности очень широкого диапазона механизмов генерирования
звука, включая механизмы со сложными полями течений. Однако мы сначала
продемонстрируем ее использование на простейшем случае колебания в
покоящейся жидкости твердого тела, совершающего прямолинейные движения с
частотой, удовлетворяющей условию компактности (91).
Сила F, с которой такое колеблющееся тело действует на
жидкость, обычно приближенно определяется членом MvU,
пропорциональным ускорению тела U. Здесь коэффициент М" называется
"присоединенной массой" жидкости в том смысле, что движение тела со
скоростью U вызывает пропорциональное движение соседней жидкости с
суммарным количеством движения MvU (как будто масса Mv жидкости движется
со скоростью U тела, а остальная жидкость остается в покое). Конечно, в
действительности частицы жидкости движутся со скоростями, которые
составляют некоторую часть от U и которые-уменьшаются по мере увеличения
расстояния от тела; масса М^
58
1. Звуковые волны
получается сложением масс таких частиц жидкости с весами,
•соответствующими их скоростям. При таком вычислении может возникнуть
проблема сходимости, но этого не произойдет (как и в разд. 1.5), если мы
будем рассматривать только жидкость в большом цилиндре с осью,
параллельной направлению движения; кроме того, тогда при вычислении силы
F не может
появиться никакой поправки к члену MvU за счет сил давления на
поверхности цилиндра, которые будут иметь нулевую составляющую в
направлении движения.
Если отвлечься от боле сложных случаев (например, когда
вязкие силы, пропорциональные U, сравнимы с членом МvU или когда тело
несимметрично относительно направления движения, что приводит к
анизотропной присоединенной массе
и к возможности появления силы, пропорциональной U по величине и
перпендикулярной ей по направлению), можно заключить, что напряженность
диполя (112) для такого колеблющегося тела принимает вид
G = (Mv + р"К) U. (ИЗ)
Два члена, стоящие в скобках, часто бывают сравнимыми по
величине; например, легко показать (см. курсы гидродинамики), что для
кругового цилиндра, совершающего поперечные колебания, Mv = р0Е, в то
время как для сферы радиуса а
Mv = -^-p0V, что дает G = -|-p0FU = 2яр0а3и. (114)
Это значение (114) напряженности диполя, соответствующей движению сферы,
при подстановке в (102) дает поле давления
Р - Ро=~? Роа3 lr-V(t - rlc)/r3] +
+ 4-р°а3 [г-Щг-г/с)/^)], (115)
которое в ближнем поле близко к величине., соответствующей классическому
потенциалу
<р=--^-а3 [r-U(t)/r3] (116)
для сферы, движущейся в несжимаемой жидкости. С другой
стороны, в дальнем поле главным в (115) является второй член, и он один
описывает излучаемый звук.
Когда тело колеблется не в покоящемся, а в движущемся относительно тела
воздухе, оба члена в (113) могут оказаться пренебрежимо малыми по
сравнению с вкладами в напряжен-
1.7. Компактные области источников с диполъными дальними полями 59
ность диполя (112) в фазе со скоростью колебаний, которые обусловлены
флуктуациями аэродинамических сил, возникающих в ответ на флуктуации
скорости тела относительно воздуха. Такие силы могут иметь порядок
p0SC/0U, где U0 - невозмущенная относительная скорость, S - площадь
поверхности тела, и будут превосходить величину (113) при частотах,
меньших чем SUJV. Хороший пример такого типа генерации звука - жужжание
крыльев насекомых.
Заметим, что хотя столь большие аэродинамические силы могут вызывать
соответствующий "откат" центра инерции насекомого, оно, имея среднюю
плотность рт, много большую, чем плотность р0 воздуха, будет двигаться со
скоростью U своего центра инерции (здесь предполагается, что он совпадает
