Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
квадруполя. Его дальнее поле, как показывает сравнение рис. 13 и 15,
слабее полей отдельных диполей по существу по той же причине, по которой
дальнее поле компактной группы источников, суммарная интенсивность
которых равна нулю (разд. 1.7), слабее полей отдельных источников.
В данном разделе указывается связь между этими двумя примерами и
показывается, как турбулентное течение жидкости генерирует то же самое
звуковое поле, что и некоторое распределение квадруполей с некоторой
заданной напряженностью квадруполей на единицу объема. Заметим, что в то
время как напряженность диполя включает направление (направление малого
смещения от стока до источника) и соответственно является векторной
величиной, напряженность квадруполя содержит два направления (не только
направления равных и противоположных диполей, но и направление смещения
между ними) и соответственно является тензорной величиной. Мы покажем,
что тензорная напряженность квадруполя на единицу объема в турбулентном
потоке принимает довольно простой вид.
Результирующее излучение квадруполя может иметь намного более слабое
дальнее поле по сравнению с ближним полем, чем имеет даже излучение
диполя. В некоторых случаях это может означать, что дальнее поле
квадруполя вообще едва заметно. Однако в других случаях, когда
напряженность квадруполя велика и на него не накладывается излучение
монополя или диполя, такое квадрупольное излучение от турбулентности
может вызывать очень неприятный шум, который важно исследовать
количественно, чтобы найти способ его уменьшения.
1.10. Излучение квадруполя
19
Таким образом, исследование шума струи методами, основанными на теории
данного раздела, должно дать ценные рекомендации для уменьшения шума.
Для того чтобы вычислить напряженность квадруполя на единицу объема,
начнем с преобразования основных уравнений движения (2) и (3) в двух
аспектах. Во-первых, потребуем, чтобы они описывали локальную скорость
изменения (didt) количества движения или массы на единицу объема;
например, сгруппируем последние два члена в (3), записав их в виде члена
V-(pu), который с точностью до знака представляет локальную скорость
изменения р. Во-вторых, примем индексные обозначения, что позволит легче
использовать тензорные величины в дальнейшем; итак, в этом разделе
координаты обозначаются как Ху, х2, х3, вектор скорости как (иъ иг, и3),
а повторение нижнего индекса в любом члене уравнения автоматически
означает суммирование по нему от 1 до 3. Тогда уравнение (3) запишется
как
dp/dt + д (рUi)/dXi = 0. (143)
Аналогично уравнение (2) после такого второго преобразования принимает
вид
рduj/dt + pUjdUildxj -f- dp!dxt = 0, (144)
и мы достигнем цели первого преобразования, а именно получим уравнение
для д (рUi)ldt, если сложим уравнение (144) с уравнением (143),
умноженным на и-г. Прежде чем сделать это, заменим в уравнении (143)
индекс i на / (что не меняет смысл уравнения, поскольку любой нижний
индекс, повторенный дважды в одном члене, означает суммирование от 1 до
3) и затем составим произведение
Ufdp/dt -f и id (р Uj)!dxj = 0. (145)'
После сложения уравнений (144) и (145) получаем требуемый вид уравнения:
д (рut)ldt + д (рUiUj)!dXj + др/дх, = 0. (146)
Преобразованные уравнения (143) и (146) имеют простой физический смысл и
могут быть непосредственно выведены следующим образом. В уравнении (143)
локальная скорость изменения плотности приравнивается дивергенции вектора
потока массы put с обратным знаком. Это выражает закон сохранения массы,
согласно которому скорость изменения массы в элементарной области равна
скорости истечения массы из этой: области. Аналогично скорость изменения
плотности количества движения, согласно (146), равна взятой с обратным
знаком
"о
1. Звуковые волна
.дивергенции тензора плотности потока количества движения piiiUj плюс
поправка (поскольку количество движения не сохраняется, а меняется со
скоростью, равной приложенной силе), равная силе давления на единичный
объем -dp/dxi.
Действительно, последние два члена в уравнении (146) можно объединить и
записать уравнение в виде
д(рUi)ldt -(- dlpUiUj + (р - Ро) б/Д/дж,- = 0, (147)
где Ьц - символ Кронекера, который равен единице при i = / и нулю при i
/. Смысл уравнения (147) заключается в том, что избыточное давление р -
р0 создает поток количества движения (р - ро) би, который, как показывает
множитель бц, является изотропным (т. е. равным во всех направлениях),
поскольку избыточное давление действует во всех направлениях одинаково.
Член в квадратных скобках в уравнении (147) представляет собой тензор
полного потока количества движения, равный скорости переноса .^-
составляющей количества движения в направлении х} и обусловленный: (i)
конвекцией за счет •составляющей скорости по оси Xj и (ii) действием
избыточного давления р - р0\ таким образом, в уравнении (147) скорость
изменения ^-составляющей количества движения в элементарном объеме равна
взятому с обратным знаком суммарному полному потоку количества движения
