Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником 455
(327) в случае N = const и поэтому можем применить анализ Фурье.
Распределение источников
dQ/dt = / (х, z) ехр (ico0t), (328)
не зависящее от у, генерирует двумерное распространение волн, отчасти
аналогичное по своей природе тому, которое только что рассматривалось,
так как "кривая" волновых чисел не имеет кривизны, будучи парой прямых.
Уравнение (327) при N = = const принимает вид
(У2- со2) d2qldx2 - a>ld2qldz2 = ш0 (df/dz) exp (ica0t). (329)
Это частный случай уравнения (276) при
В (со, к, т) = [со2т2 - (N2 - со2) к2]/{&тп), (330)
когда дисперсионное соотношение В = 0 имеет вид
СО = lN2k2/(k2 + т2)]Ч*. (331)
Кривая со = со0 волновых чисел представляет собой пару прямых в плоскости
(к, т), образующих угол 0 = arc cos (со0/N) с осью к. Эти прямые
изображены на рис. 91, причем направле-
Рис. 91. Кривая S волновых чисел при двумерном распространении внутренних
волн (в плоскости (х, z)). Стрелки указывают направления, в которых
обнаруживаются волны, соответствующие четырем различным полупрямым кривой
S. Для волн, соответствующих жирной полупрямой, используются специальные
оси координат (как на рис. 87) с осью z0, имеющей направление
распространения энергии.
456
4. Внутренние волны
ния тех нормалей, вдоль которых со возрастает, показаны стрелками. Данные
направления являются направлениями луней: четыре различных направления,
образующих андреевский крест (рис. 76), связанный с внутренними волнами
фиксированной частоты. Каждое направление связано с полупрямой в
плоскости волновых чисел; например, как мы знаем из разд. 4.4, волны,
распространяющиеся в направлении возрастающих х я z, должны иметь
положительное к и отрицательное т.
Основное отличие от предыдущего случая, когда вся плоскость в
пространстве волновых чисел вносила вклад в излучение в определенном
направлении, состоит в том, что в данном случае вклад дает только
половина прямой. Этот результат анализа групповой скорости (с важными
следствиями, которые будут описаны ниже) можно легко упустить при решении
уравнения (329) посредством обычной факторизации дифференциального
оператора в левой части без правильного использования условия излучения.
Здесь мы будем искать выражение для тех волн с положительным к и
отрицательным т, энергия которых распространяется вверх и вправо.В этом
случае будет удобно оценить их уже при помощи другого изменения осей
координат. Мы используем оси (х0, z0) с осью Хд в направлении волнового
вектора (напоав-лении перемещения гребней, идущем по диагонали вниз) и
перпендикулярной этой оси осью z0 (в направлении лучей, идущих по
диагонали вверх). Теперь волны генерируются полупрямой к0 > 0, т0 = 0, и
двумерная запись выражения (284) принимает вид
оо
q = - 2ni [ехр (too*)] f F (к0, 0) [dB/dm0]~l=0 exp (- ik0x0) dkg.
(332)
При помощи (330) нетрудно проверить, что значение дВ/дтд на данной
полупрямой равно постоянной 2TV; действительно, так как на этой
полупрямой В = 0, нормальная производная дВ/дтд в направлении т0,
образующем угол п/2 - 0 с направлением к, должна быть равна произведению
cosec 0 на дВ/дк, что дает
дВ/дтд = cosec 0 (TV2 - co2)(-2к/(<а0т)) =
=(2TV tg 0)(-klm) = 2TV, (333) так как m = -к tg 0. Поэтому
OO
<7= - niTV-1 [exp (ico0?)] j F (k0, 0) exp (- ik0xQ) dk0. (334)
о
4.10. Волны, генерируемые осциллирующим источником
457
Так же как и в случае плоской поверхности волновых чисел, лучи при со
=со0 идут в определенном направлении (одно из них образует угол 0 с
вертикалью, принятой здесь в качестве направления z0); следовательно,
пучок (334) снова параллелен и амплитуда с возрастанием z0 не убывает.
Сходство со случаем плоской поверхности волновых чисел состоит и в том,
что полупрямая "выбирает" частичное преобразование Фурье по направлению
распространения (здесь направление z0). В самом деле, она "выбирает"
составляющую т0 - 0, которая включает только интегрирование по z0.
Действительно, если бы интеграл (334) был взят от -оо до оо, он дал бы
амплитудный коэффициент
ос оо
j F(k0, 0) ехр (-ik0x0) dk0 = (2л)"1 j f (x0, z0) dz0 = fs{x0),
- oo - оо
(335)
который равен произведению (2л)"1 на напряженность источника,
проинтегрированную по направлению, нормальному к S (т. е. по направлению
z0).
Однако тот факт, что в случае полупрямой интеграл в (334) берется только
0 до оо, вносит значительное изменение, которое придает решению его
волновой характер. Компонента выражения (334), пропорциональная
ехр [г (соД - к0х)],
для 0 < к0 < оо имеет волновые гребни, движущиеся в ожидаемом направлении
возрастающих х0 (по диагонали вниз под прямым углом к лучам).
Комбинированная волна (334) принимает форму, зависящую от классического
расщепления, посредством которого любая функция fs (х0), задаваемая
интегралом Фурье, как в (335), представляется в виде суммы
ОО
fs (я") + fs(x0) = j F(k0, 0) exр (- ikQx0) dkQ +
0
0
+ ^ F (k0, 0) exp (- ik0x0) dk0. (336)
